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https://doi.org/10.11588/diglit.43553#0008
.8
R. Mühlbach:
Es sei = f(Xi’ Xi’ Xi’ x0 i = 1’
Nach Euler-Laghange hat man dann die Differentialgleichungen:
d d2 d 3
&+A(n)xi-dTfti+5?2fe-dT,&i = o i=i, -,5
zu lösen. (A ist ein noch zu bestimmender Faktor.)
Man kann hier nun folgenden Weg einschlagen: f besteht nur aus
Skalarprodukten. (Vgl. S. 4 Formel (2 a)).
f d , i r
as, ai, —as}, wenn a = {a;L
Da sich das Minuszeichen in der letzten der
gerade wieder heraushebt, kann man also auch
&
Es ist aber z. B.
d'h’ faSt dr^ Q) = a-
5 obigen Gleichungen
schreiben:
b
b?
/ xn d 4 d \ d2 ( b A d3 ( b A
[f + 1 dt f) T dt2 fj dt3 (^.„ fj - 0
In: fE + 2 (£ i’)s - dt f j + — fg - — fE- = 0 ist der Parameter ganz
beliebig, man kann also dt = do setzen und erhält nach Ausführung der
Differentiation eine lineare Gleichung aus den Ableitungen £,
mit Koeffizienten, die sich aus Ausdrücken von der Form (£" j ") usw.
zusammensetzen. Benutzt man nun die Ableitungsgleichungen, so er-
hält man eine lineare Kombination aus den 5 Grundvektoren, deren
Koeffizienten also alle verschwinden müssen. Dies gibt außer zwei
Identitäten eine Bestimmungsgleichung für 2, die nicht interessiert,
ferner die beiden Gleichungen für a und b:
(3) 3bb’ + ((^' + QQ'-a') = 0
/b'V’ fbz\2
bzz — b3 — b (2 (JU + (jD) - 2 a) = 0
Für den Fall konstanter Koeffizienten erhält man: 2a — b2 = 0
(wenn man wegen b f 0 die sphärischen Kurven b = 0 ausschließt).
Diese Kurven liegen aber auf Dupin’schen Zykliden und schneiden
die Krümmungslinien derselben unter 45°. Die Kurve j(o) liegt dann
nämlich auf der Kugelschar b = bjd-§, von der man durch das Beweisen
der Gleichung b'zz = konst. • b' (vgl. die in Anmerkung 1 auf Seite 3
genannte Arbeit, Seite 142) zeigt, daß sie eine Dupin’sche Zyklide ist.
Den Winkel zwischen der Kurve j(o) und den Krümmungslinien findet
man, indem man den Winkel zwischen den Kugeln t — n und t be-
rechnet, die auf der Krümmunmslinie bzw. dem Linienelement der
Kurve senkrecht stehen.
R. Mühlbach:
Es sei = f(Xi’ Xi’ Xi’ x0 i = 1’
Nach Euler-Laghange hat man dann die Differentialgleichungen:
d d2 d 3
&+A(n)xi-dTfti+5?2fe-dT,&i = o i=i, -,5
zu lösen. (A ist ein noch zu bestimmender Faktor.)
Man kann hier nun folgenden Weg einschlagen: f besteht nur aus
Skalarprodukten. (Vgl. S. 4 Formel (2 a)).
f d , i r
as, ai, —as}, wenn a = {a;L
Da sich das Minuszeichen in der letzten der
gerade wieder heraushebt, kann man also auch
&
Es ist aber z. B.
d'h’ faSt dr^ Q) = a-
5 obigen Gleichungen
schreiben:
b
b?
/ xn d 4 d \ d2 ( b A d3 ( b A
[f + 1 dt f) T dt2 fj dt3 (^.„ fj - 0
In: fE + 2 (£ i’)s - dt f j + — fg - — fE- = 0 ist der Parameter ganz
beliebig, man kann also dt = do setzen und erhält nach Ausführung der
Differentiation eine lineare Gleichung aus den Ableitungen £,
mit Koeffizienten, die sich aus Ausdrücken von der Form (£" j ") usw.
zusammensetzen. Benutzt man nun die Ableitungsgleichungen, so er-
hält man eine lineare Kombination aus den 5 Grundvektoren, deren
Koeffizienten also alle verschwinden müssen. Dies gibt außer zwei
Identitäten eine Bestimmungsgleichung für 2, die nicht interessiert,
ferner die beiden Gleichungen für a und b:
(3) 3bb’ + ((^' + QQ'-a') = 0
/b'V’ fbz\2
bzz — b3 — b (2 (JU + (jD) - 2 a) = 0
Für den Fall konstanter Koeffizienten erhält man: 2a — b2 = 0
(wenn man wegen b f 0 die sphärischen Kurven b = 0 ausschließt).
Diese Kurven liegen aber auf Dupin’schen Zykliden und schneiden
die Krümmungslinien derselben unter 45°. Die Kurve j(o) liegt dann
nämlich auf der Kugelschar b = bjd-§, von der man durch das Beweisen
der Gleichung b'zz = konst. • b' (vgl. die in Anmerkung 1 auf Seite 3
genannte Arbeit, Seite 142) zeigt, daß sie eine Dupin’sche Zyklide ist.
Den Winkel zwischen der Kurve j(o) und den Krümmungslinien findet
man, indem man den Winkel zwischen den Kugeln t — n und t be-
rechnet, die auf der Krümmunmslinie bzw. dem Linienelement der
Kurve senkrecht stehen.