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https://doi.org/10.11588/diglit.43553#0009
Über Raumkurven in der Möbius’schen Geometrie.
9
hm.
durch einen festen
einer Möbiustrans-
Die Normalkugeln
für die euklidische
Die Extremaleneigen schäft der 45 °-Isogonaltrajektorien auf
Dupin’schen Zykliden ist schon von H. Liebmann in der oben er-
wähnten Arbeit nachgewiesen.
§ 6. Natürliche Gleichungen der Extremalen.
Nehmen wir nun b'f 0 an. Dann sind die Gleichungen (3) äqui-
valent mit folgenden:
(4)
= do2
b2
für die euklidische Krümmung ergibt sich:
— = konst. etwa = 1
92
und für die euklidische Windung:
Wb*
2 ab2 + B = 0
b'2 = — b4 + A b2 + B
wobei A und B Integrationskonstante sind.
Man weist nun leicht nach, daß die Bedingung 2 ab2 + B = 0
gleichbedeutend damit ist, daß die Normalkugeln der Kurve alle auf
einer festen Kugel senkrecht stehen oder durch einen festen Punkt
gehen.
Die Kugel (für B = — 1 ist es ein Punkt) ist
9l = abj-bj + §.
Man rechnet nach, daß 91' = 0. Dabei kann man B geometrisch deuten,
da B=tg2 cd, wenn cd der feste Winkel zwischen den Schmiegkugeln
der Kurve und 91 ist.
Wenn daher die Normalkugeln einer Kurve alle auf einer festen
Kugel senkrecht stehen, und die Inversionskrümmung der Differential-
gleichung
b'2 = -biJrAb2-[-tg2w
genügt, oder wenn die Normalkugeln alle durch einen festen Punkt
gehen und die Inversionskrümmung der Gleichung genügt:
b'2 = — bi -j- Ab2 — 1
dann hat man es mit Kxtremalen von b\do = 0 zu
Nehmen wir etwa an, die Normalkugeln gehen
Punkt. Dann kann man diesen jedenfalls mittels
formation in den unendlich fernen Punkt werfen,
werden dann zu Schmiegebenen, und man bekommt
Bogenlänge:
9
hm.
durch einen festen
einer Möbiustrans-
Die Normalkugeln
für die euklidische
Die Extremaleneigen schäft der 45 °-Isogonaltrajektorien auf
Dupin’schen Zykliden ist schon von H. Liebmann in der oben er-
wähnten Arbeit nachgewiesen.
§ 6. Natürliche Gleichungen der Extremalen.
Nehmen wir nun b'f 0 an. Dann sind die Gleichungen (3) äqui-
valent mit folgenden:
(4)
= do2
b2
für die euklidische Krümmung ergibt sich:
— = konst. etwa = 1
92
und für die euklidische Windung:
Wb*
2 ab2 + B = 0
b'2 = — b4 + A b2 + B
wobei A und B Integrationskonstante sind.
Man weist nun leicht nach, daß die Bedingung 2 ab2 + B = 0
gleichbedeutend damit ist, daß die Normalkugeln der Kurve alle auf
einer festen Kugel senkrecht stehen oder durch einen festen Punkt
gehen.
Die Kugel (für B = — 1 ist es ein Punkt) ist
9l = abj-bj + §.
Man rechnet nach, daß 91' = 0. Dabei kann man B geometrisch deuten,
da B=tg2 cd, wenn cd der feste Winkel zwischen den Schmiegkugeln
der Kurve und 91 ist.
Wenn daher die Normalkugeln einer Kurve alle auf einer festen
Kugel senkrecht stehen, und die Inversionskrümmung der Differential-
gleichung
b'2 = -biJrAb2-[-tg2w
genügt, oder wenn die Normalkugeln alle durch einen festen Punkt
gehen und die Inversionskrümmung der Gleichung genügt:
b'2 = — bi -j- Ab2 — 1
dann hat man es mit Kxtremalen von b\do = 0 zu
Nehmen wir etwa an, die Normalkugeln gehen
Punkt. Dann kann man diesen jedenfalls mittels
formation in den unendlich fernen Punkt werfen,
werden dann zu Schmiegebenen, und man bekommt
Bogenlänge: