Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beiträge zur Galois sehen Theorie.
Einleitung.
Im § 1 stellen wir kurz die Haupttatsachen der Galoisschen
Theorie zusammen, so wie wir sie hier benutzen werden.1)
Im § 2 übertragen wir einige Ergebnisse und Begriffe aus der
Theorie der Mischgruppen auf die Galoissche Theorie2); es handelt
sich hier einerseits um die Frage, wann aus der Existenz einer Unter-
mischgruppe der Mischgruppe aller Isomorphismen eines Körpers auf
die eines Unterkörpers geschlossen werden kann; es ergibt sich, daß
sich dies nicht allein aus dem Verhältnis der Untermischgruppe zur
Mischgruppe bestimmen läßt, daß hierfür vielmehr die Gruppe des
kleinsten unseren Körper enthaltenden Normalkörpers entscheidend ist,
durch deren Zerlegung unsere Isomorphismenmischgruppe gewonnen
wurde; andererseits fragen wir danach, wann sich ein Isomorphismus
eines Körpers zu einem Automorphismus eines Oberkörpers erweitern
läßt, der nicht ein Normalkörper ist. Die hierfür in Frage kommen-
den Körper lassen sich durch die Eigenschaften ihrer Mischgruppen
charakterisieren.
Wir haben so die Mittel gewonnen, um im § 3 die Eigenschaften
der folgenden Körperklasse, die als Spezialfälle die affektlosen und
normalen Körper unter sich begreift, zu studieren; es handelt sich um
Körper, die von ihren konjugierten Körpern möglichst unabhängig sind,
d. h. es soll möglich sein, unter dem System der konjugierten Körper
beliebige Permutationen vorzunehmen, und ihnen gleichzeitig unabhängig
b Zu Grunde liegt eine Darstellung der Galoisschen Theorie, wie sie sich
unter Benutzung ÜEDEKiNDscher und S'i’EiNiTzscher Begriffe aus den Darstellungen:
A. Loewy : Neue elementare Begründung und Erweiterung der Galoisschen
Theorie; Sitz.-Ber. d. Heidelberger Akad. d. Wiss., Math.-Nat. Klasse 1926 (7) und
1927(1), zitiert mit L. 1 und L. II. H. Hasse: Höhere Algebra II. (1927), Samm-
lung Göschen 932. F. K. Schmidt: Bemerkungen zum ßRANDTschen Gruppoid ;
Sitz.-Ber. d. Heidelberger Akad. d. Wiss., Math.-Nat. Kl. 1927 (8), § 2, p. 97 ss.
W. Krull: Galoissche Theorie der unendlichen algebraischen Erweiterungen;
erscheint demnächst in den Math. Ann., zitiert mit Kr,, ergibt.
2) cf. A. Loewy : Journ. f. d. r. u. a. Math., Bd. 157 (1927), p. 239—254. R. Baer:
Zur Einordnung der Theorie der Mischgruppen in die Gruppentheorie; Sitz.-Ber. d.
Heidelberger Akad. d. Wiss., Math.-Nat. Kl. 1928(4), zitiert mit „Mg“. R. Baer:
Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Untermischgruppe; Sitz.-Ber.
d. Heidelberger Akad. d. Wiss., Math.-Nat. Kl. 1928(5), zitiert mit „Mz“.