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https://doi.org/10.11588/diglit.43556#0004
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Reinhold Baer:
voneinander beliebige — mögliche — Automorphismen vorzuschreiben.
Es zeigt sich, daß diese Körper im allgemeinen mit jedem ihrer kon-
jugierten nur den Grundkörper als Durchschnitt haben; sie haben nur
endlich viele konjugierte Körper, enthalten einen affektlosen Körper,
über dem sie normal sind usw.
Im § 4 schließlich behandeln wir eine Verallgemeinerung dieser
Fragestellung, die sich aus der Theorie der Zerlegungen einer Misch-
gruppe nach einer Untermischgruppe natürlich ergibt.
Wir setzen die Begriffe und Ergebnisse unserer beiden Abhand-
lungen Mg und Mz im wesentlichen als bekannt voraus.
Bezeichnungen:
Ar B = Durchschnitt von A und B; aeB = a ist Element von B;
N (A<B) ist der Normalisator der Untergruppe A in der Gruppe B,
$ (51) der Kern der Mischgruppe 51.
Im allgemeinen werden Körper durch große griechische: A, B, B, K,..., ihre
Elemente durch kleine griechische: a, ... , Automorphismengruppen durch große
lateinische: A, G, . . . , ihre Elemente durch kleine lateinische: a, . . . , Isomor-
phismenmischgruppen durch große deutsche: 91, R, . . . , ihre Elemente durch
kleine deutsche Buchstaben: a, f, . . . bezeichnet.
§ 1. Die Grundlagen.
Sei K ein beliebiger Körper, F algebraisch, normal oder Galois sch
und 1. Art über K, d. h. eine irreduzible Gleichung in K hat in jT ent-
weder keine oder alle und jedenfalls keine mehrfachen Wurzeln. Weiter
sei G die Gruppe aller Automorphismen 1) von F, bei denen K (element-
weise] invariant bleibt.
I. Sei ajßF (i = 1,2); dann und nur dann gibt es einen Auto-
morphismus arG, der et-, in a2 über führt, wenn und a2 der gleichen
irreduziblen Gleichung in K genügen.
la. Seien A, B zwei Körper derart, daß K<^A<^B<^F; dann
und nur dann ist A[=B, wenn es einen Automorphismus aeG gibt,
der in A den identischen, in B einen nicht-identischen Isomorphismus
induziert.
lb. Ist A die Gruppe aller und nur der Elemente aus G, bei
denen der Körper A zwischen K und F elementweise invariant bleibt,
so ist ein Körper B zwischen K und F dann und nur dann ein
[echter oder unechter] Unterkörper von A, wenn B ebenfalls bei allen
Automorphismen aus A elementtveise invariant bleibt.
Sei jetzt 51 das System der Isomorphismen von A, die durch
Automorphismen aus G induziert werden.
’) im Sinne von Steinitz oder Hasse 1. c.
Reinhold Baer:
voneinander beliebige — mögliche — Automorphismen vorzuschreiben.
Es zeigt sich, daß diese Körper im allgemeinen mit jedem ihrer kon-
jugierten nur den Grundkörper als Durchschnitt haben; sie haben nur
endlich viele konjugierte Körper, enthalten einen affektlosen Körper,
über dem sie normal sind usw.
Im § 4 schließlich behandeln wir eine Verallgemeinerung dieser
Fragestellung, die sich aus der Theorie der Zerlegungen einer Misch-
gruppe nach einer Untermischgruppe natürlich ergibt.
Wir setzen die Begriffe und Ergebnisse unserer beiden Abhand-
lungen Mg und Mz im wesentlichen als bekannt voraus.
Bezeichnungen:
Ar B = Durchschnitt von A und B; aeB = a ist Element von B;
N (A<B) ist der Normalisator der Untergruppe A in der Gruppe B,
$ (51) der Kern der Mischgruppe 51.
Im allgemeinen werden Körper durch große griechische: A, B, B, K,..., ihre
Elemente durch kleine griechische: a, ... , Automorphismengruppen durch große
lateinische: A, G, . . . , ihre Elemente durch kleine lateinische: a, . . . , Isomor-
phismenmischgruppen durch große deutsche: 91, R, . . . , ihre Elemente durch
kleine deutsche Buchstaben: a, f, . . . bezeichnet.
§ 1. Die Grundlagen.
Sei K ein beliebiger Körper, F algebraisch, normal oder Galois sch
und 1. Art über K, d. h. eine irreduzible Gleichung in K hat in jT ent-
weder keine oder alle und jedenfalls keine mehrfachen Wurzeln. Weiter
sei G die Gruppe aller Automorphismen 1) von F, bei denen K (element-
weise] invariant bleibt.
I. Sei ajßF (i = 1,2); dann und nur dann gibt es einen Auto-
morphismus arG, der et-, in a2 über führt, wenn und a2 der gleichen
irreduziblen Gleichung in K genügen.
la. Seien A, B zwei Körper derart, daß K<^A<^B<^F; dann
und nur dann ist A[=B, wenn es einen Automorphismus aeG gibt,
der in A den identischen, in B einen nicht-identischen Isomorphismus
induziert.
lb. Ist A die Gruppe aller und nur der Elemente aus G, bei
denen der Körper A zwischen K und F elementweise invariant bleibt,
so ist ein Körper B zwischen K und F dann und nur dann ein
[echter oder unechter] Unterkörper von A, wenn B ebenfalls bei allen
Automorphismen aus A elementtveise invariant bleibt.
Sei jetzt 51 das System der Isomorphismen von A, die durch
Automorphismen aus G induziert werden.
’) im Sinne von Steinitz oder Hasse 1. c.