Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beiträge zur Galois sehen Theorie.

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II. Ist || G / A (| die Zerlegungsmischgruppe, die durch Zerlegung
von G in Klassen nach A entsteht, und N (A < G) der Normalisator
von k in G, so ist das System
3l = ||G/A||
eine Mischgruppe, nämlich die Isomorphismenmischgruppe von A,
deren Kern
$(QI) = N(A<G)/A
alle und nur die Automorphismen von A aus Ql umfaßt!}
IIa. Dann und nur dann ist A normal über K, wenn A Normal-
teiler von G, d. h. wenn QI eine Gruppe von Automorphismen von A ist.
II b. Zivei Isomorphismen aus Ql führen A dann und nur dann
in den gleichen, zu A konjugierten, ev. mit A identischen Körper über,
wenn sie zur gleichen Klasse von Ql nach $?(QI) gehören; zwischen den
Klassen von Ql nach $ (Ql) und den zu A [hinsichtlich KJ konjugierten
Körpern wird hierdurch also eine eindeutige Zuordnung bewirkt.
III. Enthält A einen Normalteiler N von G, so ist:
Ql = ||G/ A || = || G / N / A / N ||2 3 4);
ist N der größte Normalteiler dieser Art, so ist der Vereinigungskörper N
der zu A konjugierten Körper der bei allen und nur den Elementen
aus N elementweise invariant bleibende Körper; G / N ist die Gruppe
der Automorphismen von N über K und wegen des Zusatz zu Satz 6
des § 2 von Mg ist G / N einer Gruppe ähnlicher Abbildungen von Ql
auf sich isomorph.

Wir nehmen jetzt die folgende Zuordnung zwischen den Unter-
gruppen R von G und den Körpern P zwischen K und P vor:
(ZG) R—*P, | (ZK) P->.R,

wenn P der Körper aller und nur
der Elemente aus P ist, die bei
allen Automorphismen aus R in-
variant bleiben.
Dann folgt sofort aus la und Ib:
IV. Aus P-> R P' folgt
Dagegen gilt:
Va. Aus R—>P—>R' folgt
wenn E über K endlich ist!}
b cf. L. II., Satz la, p.9. 2)
3) Dies hörte auf richtig zu sein
da dann la. nicht mehr richtig wäre.
4) cf. Kr.

wenn R die Gruppe aller und nur
der Automorphismen aus G ist,
bei denen P elementweise invariant
bleibt.
stets P—P'!}
dann und nur dann stets R = R'
cf. L. II., Satz 1, p. 6.
, wenn P nicht erster Art über K wäre,