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https://doi.org/10.11588/diglit.43556#0006
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Reinhold Baer:
Um jetzt im allgemeinen Fall unter den Untergruppen R von G
die zu charakterisieren, für die aus R —>P—>R' stets auch R = R'
folgt, nehmen wir nach W. Krull eine Topologisierung von G vor:
Umgebungen in G sind alle die Untergruppen E von G, welche
Gruppen aller einen über K endlichen Körper E elementweis invariant
lassenden Automorphismen aus G sind, sowie die Piesfklassen nach
solchen Untergruppen in G; jede dieser Umgebungen ist Umgebung
aller ihrer Elemente.
Dann ist G zu einer S-Gruppe gemachtx) und also 0-dimensional* 2).
Weiter ist G vollständig abgeschlossen3 4) und es gilt:
Vb. AhisR —>F—> R' folgt dann und mir dann R = RZ, wenn
R in G abgeschlossen istA)
Wir können also der Isomorphismenmischgruppe tR = || G / R ' von
P, da R als Gruppe von P abgeschlossen ist, die natürliche Topologie
von G aufprägen.5)
§ 2. Übertragung der Mischgruppentheorie auf die Körpertheorie.
Sei A ein Körper zwischen K und P; wegen III des § 1 können
wir annehmen, daß G, die Automorphismengruppe von F, einer Gruppe
ähnlicher Abbildungen von 51, der Isomorphismenmischgruppe von A,
isomorph ist, daß also E der kleinste A umfassende Normalkörper über
K, d. h. der Vereinigungskörper der zu A konjugierten Körper ist.
Sei 53 eine Untermischgruppe von 51 gemäß Definition 1 des § 1
von Mg.
Satz 1: Dann und nur dann gibt es einen Körper B zwischen K
und A, der bei allen und nur den Isomorphismen von SB elementweise
invariant bleibt, wenn sich eine Zerlegung von 51 nach 53 in G gemäß
(Z) des § 1 von Mz realisieren läßt6) und wenn 53 in 51 abgeschlossen
ist, wobei 51 in natürlicher Topologie vorliegt.
Wir fassen G gleichzeitig als Automorphismengruppe von E und
als Gruppe ähnlicher Abbildungen von 51 auf.
A. Ist eine Zerlegung von 51 nach SB in G realisierbar, so gibt
es eine Untergruppe B von G, so daß 53 bei allen und nur den ähn-
d cf. R. Baer: Zur Topologie der Gruppen, Definition 2 des § 1; die Arbeit
erscheint demnächst im Crelleschen Journal Bd. 160, zitiert mit TG.
2) cf. TG: Zusatz zu Satz 2 des § 1.
3) cf. TG: § 4, (V) 3; G und jede in G abgeschlossene Gruppe ist also mit der
zugehörigen Gruppe idealer Elemente [in sinngemäßer Verallgemeinerung des
Prüfer sehen Begriffs] identisch; cf. H. Prüfer: Math. Zeitschr. 22 (1925), p. 223.
4) cf. Kr. 5) cf. TG : Zusatz zu Satz 6 des § 1 und Satz 2 b des § 3.
6) cf. F. K. Schmidt 1. c. p. 103. 7) cf. Anm. 5.
Reinhold Baer:
Um jetzt im allgemeinen Fall unter den Untergruppen R von G
die zu charakterisieren, für die aus R —>P—>R' stets auch R = R'
folgt, nehmen wir nach W. Krull eine Topologisierung von G vor:
Umgebungen in G sind alle die Untergruppen E von G, welche
Gruppen aller einen über K endlichen Körper E elementweis invariant
lassenden Automorphismen aus G sind, sowie die Piesfklassen nach
solchen Untergruppen in G; jede dieser Umgebungen ist Umgebung
aller ihrer Elemente.
Dann ist G zu einer S-Gruppe gemachtx) und also 0-dimensional* 2).
Weiter ist G vollständig abgeschlossen3 4) und es gilt:
Vb. AhisR —>F—> R' folgt dann und mir dann R = RZ, wenn
R in G abgeschlossen istA)
Wir können also der Isomorphismenmischgruppe tR = || G / R ' von
P, da R als Gruppe von P abgeschlossen ist, die natürliche Topologie
von G aufprägen.5)
§ 2. Übertragung der Mischgruppentheorie auf die Körpertheorie.
Sei A ein Körper zwischen K und P; wegen III des § 1 können
wir annehmen, daß G, die Automorphismengruppe von F, einer Gruppe
ähnlicher Abbildungen von 51, der Isomorphismenmischgruppe von A,
isomorph ist, daß also E der kleinste A umfassende Normalkörper über
K, d. h. der Vereinigungskörper der zu A konjugierten Körper ist.
Sei 53 eine Untermischgruppe von 51 gemäß Definition 1 des § 1
von Mg.
Satz 1: Dann und nur dann gibt es einen Körper B zwischen K
und A, der bei allen und nur den Isomorphismen von SB elementweise
invariant bleibt, wenn sich eine Zerlegung von 51 nach 53 in G gemäß
(Z) des § 1 von Mz realisieren läßt6) und wenn 53 in 51 abgeschlossen
ist, wobei 51 in natürlicher Topologie vorliegt.
Wir fassen G gleichzeitig als Automorphismengruppe von E und
als Gruppe ähnlicher Abbildungen von 51 auf.
A. Ist eine Zerlegung von 51 nach SB in G realisierbar, so gibt
es eine Untergruppe B von G, so daß 53 bei allen und nur den ähn-
d cf. R. Baer: Zur Topologie der Gruppen, Definition 2 des § 1; die Arbeit
erscheint demnächst im Crelleschen Journal Bd. 160, zitiert mit TG.
2) cf. TG: Zusatz zu Satz 2 des § 1.
3) cf. TG: § 4, (V) 3; G und jede in G abgeschlossene Gruppe ist also mit der
zugehörigen Gruppe idealer Elemente [in sinngemäßer Verallgemeinerung des
Prüfer sehen Begriffs] identisch; cf. H. Prüfer: Math. Zeitschr. 22 (1925), p. 223.
4) cf. Kr. 5) cf. TG : Zusatz zu Satz 6 des § 1 und Satz 2 b des § 3.
6) cf. F. K. Schmidt 1. c. p. 103. 7) cf. Anm. 5.