Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beiträge zur Galois sehen Theorie.

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liehen Abbildungen aus B in sich übergeht, so daß B hinsichtlich 23
transitiv ist, und so daß A von B umfaßt wird. Dann ist l|B / A]|
isomorph zu 23.
Gemäß V b des § 1 gehört zu B ein Körper B zwischen K und F
der wegen Ib des § 1 ein Unterkörper von A ist und die verlangten
Eigenschaften hat. Denn nach Satz 1 des § 1 von Mz geht 28 bei
Abbildungen aus G entweder in sich oder in ein fremdes System aus 21
über und nach Zusatz 3 zu Satz 6 des § 1 von TG, der wegen Satz 2 b
des § 3 von TG anwendbar ist, ist mit 23 auch B abgeschlossen.
B. Ist umgekehrt B ein Körper zwischen K und Ä, der bei allen
und nur den Isomorphismen aus 23 elementweise invariant bleibt, so
gibt es gemäß (ZK) des § 1 eine Untergruppe B von G, die alle und
nur die Elemente aus G enthält, welche den identischen Isomorphismus
von B induzieren. Wegen Ib des § 1 wird A von B umfaßt; nach
dem oben gezeigten geht 23 bei allen und nur den ähnlichen Abbil-
dungen aus B in sich über, bei ähnlichen Abbildungen aus G, aber
nicht aus B, jedoch in ein fremdes System; weiter ist B also transitiv
gegenüber 28 und B/A|| isomorph zu 23; schließlich ist 23 abgeschlossen,
da B nach Vb des § 1 es ist und aus dem gleichen Grunde wie ad A.
Hieraus und aus II des § 1 folgt der
Zusatz: Die Isomorphismenmischgruppe von B ist:
|| 31/831| = || 11 G/A||/||B/A|||| = ||G/B|];
die Komposition der Zerlegungsmischgruppe von 21 und 23 ist also
gemäß (K) des § 7 von Mz durch die Komposition der Quotienten-
mischgruppe ||G/B|| zu bestimmen.1)
Satz 2: Dann und mir dann ist 23 eine Untergruppe des Kerns
®(2I) von 21, wenn A über B normal ist.
Denn dann und nur dann ist A über B normal, wenn jeder Isomor-
phismus von A, der B elementweise invariant läßt, ein Automorphismus
von A ist (wegen Ha des § 1!). Wegen II des § 1 gehören aber alle
und nur die Automorphismen von A zum Kern von 21.
Zusatz: Zu jeder in $(2l) abgeschlossenen Untergruppe 25 des
Kerns von 21 gehört ein Körper B gemäß Satz 7, wobei wieder die
natürliche Topologie von 21 zugrunde zu legen ist.
Dies folgt aus dem Satz 1 und dem Zusatz zu Satz 4 des § 1 von
Mz, wenn man noch bedenkt, daß der Normalisator einer abgeschlossenen
Untergruppe von G abgeschlossen ist.2)
cf. Anm, 2) von Mz, p. 4.
2) cf. TG: Zusatz des Satz 2b des § 3.