Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beiträge zur GAioisschen Theorie. 11
Satz 9: Dann und nur dann Ist B 3. Art unter A, wenn die
von G realisierte Zerlegung von 31 nach 33 3. Art ist.
Dies folgt aus Zusatz 2 zu Satz 4 und Definition 4 des § 3 von Mz.
Satz 10: Ist B einfach unter A, so ist entweder B 2. Art unter A
oder 3. Art unter A oder es gibt einen und mir einen Körper Ko
zwischen K und B, so daß
1. K 3. Art unter A ist und
0
2. als Körper über Ko betrachtet, B 2. Art unter A ist.
Dies folgt aus Satz 3 des § 3 von Mz, Satz 1, Satz 8 und 9.
Die Sätze 7 und 10 zeigen, daß wir uns auf das Studium der
Körper i-ter Art (i = 1, 2, 3) unter A beschränken können.
I. Die Körper 1. Art unter A.
Satz 11: Ist B 1. Art unter A und A(B) der Vereinigungskörper
aller zu A über B konjugierten Körper, so enthält der Durchschnitt
von zwei zu A(B) über K konjugierten Körpern keinen zu A über K
konjugierten Körper.
Dann und nur dann induzieren zwei Automorphismen von P aus G
den gleichen Isomorphismus von B, wenn sie M(B) in den gleichen
Körper A/( (B) überführen. Ist jetzt b,( eine Klasse von 31 nach 33
und fj, eine von 31 nach M(3I), so ist entweder = oder leer.
Geht A(B) bei Induktion des Isomorphismus b/( von B in Au (B)
über, so enthält A/t (B) alle und nur die zu A konjugierten Körper Av,
die zu solchen gemäß II b des § 1 gehören, welche mit b,( inzidieren.
Daraus folgt aber der Satz 11.
Gleichzeitig folgt aus Satz 1 des § 4 von Mz und Satz 5 der
Zusatz: Die in zuA(B) konjugierten Körpern A^B) enthaltenen
Systeme von zu A konjugierten Körpern sind untereinander gleichmächtig
und fremd.
II. Die Körper 2. Art unter A.
Satz 12: Der Körper B zwischen K und A ist dann und nur
dann 2. Art unter A, wenn jeder über K zu A konjugierte Körper
auch über B zu A konjugiert ist.
Dies folgt aus Satz 2 des § 3 von Mz, Satz 7 und Satz 4. —
An die Stelle von B kann auch jeder zu B konjugierte Körper
treten.
Unter D(B) sei im folgenden der Vereinigungskörper der zu B
konjugierten Körper verstanden; D^B) ist der kleinste B umfassende
Normalkörper über K. Ist B 2. Art unter A, so ist D(B') in A ent-