Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

12 Reinhold Baee :
halten. Nach IIa von § 1 und (ZK) aus § 1 gehört zu E(B') ein
Normalteiler J von G, der alle und nur die kongruenten Abbildungen
von 31 aus G enthält, bei denen jede Klasse nach 53 in sich übergeht
(wegen Hilfssatz 4 beim Beweise A des Satzes 6 des § 5 von Mz).
Definition 5: Zwei zu A über B konjugierte Körper heißen ähn-
lich, wenn sie auch über E(B') konjugiert sind.
Aus den Sätzen des § 5 von Mz folgt jetzt der
Satz 13: 1. Zwei zu A konjugierte Körper sind dann und nur
dann ähnlich, wenn die nach Ilb von § 1 zugehörigen Klassen von 31
nach (31) rücksichtlich der in G realisierten Zerlegring von 31 nach 53
ähnlich sind.
2. Die Klassen ähnlicher Körper sind gleichmächtig.
3. Bei Automorphismen aus G gehen ähnliche Körper wieder in
ähnliche über.
4. Die charakteristische Gruppe C der von G realisierten Zer-
legung von 31 nach 53 ist die Automorphismengruppe von I\B') über B;
ihre Untergruppe A enthält alle und nur die Automorphismen, bei denen
A in ähnliche Körper übergeht.
Weiter gilt der
Satz 14: Enthält eine Klasse zu A ähnlicher Körper höchstens
zwei Elemente, so ist A auch nichtidentischer Automorphismen über
I\B) fähig.
Folgt aus Satz 13 und Satz 9,4 des § 5 von Mz.
§ 3. Die freien Körper.
Definition 1: Der Körper A heißt frei, tvenn die Gruppe G aller
Automorphismen von E, dem Vereinigungskörper der zu A über K
konjugierten Körper, die Gruppe aller ähnlichen Abbildungen der
Isomorphismenmischgruppe 31 von A ist.
Ist speziell A — E, d. h. A normal über K, so ist A frei. Denn
dann ist 31 = G und die Gruppe aller ähnlichen Abbildungen von G
auf sich nach dem Cayleysehen Satze G selbst.
Im folgenden wollen wir deshalb annehmen, daß A nicht normal
über /f ist. Seien Ap(Ao — A) die zu A über K konjugierten Körper.
Satz 1: A ist dann und nur dann frei, wenn sich
1. eine beliebige eineindeutige Abbildung des Systems der Av auf
sich durch Elemente aus G bewirken läßt,