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https://doi.org/10.11588/diglit.43556#0013
Beiträge zur G-ALOisschen Theorie. 13
2. es sich durch ein geeignetes Element aus G bewirken läßt, daß
gleichzeitig alle Av willkürlich vorgegebene Automorphismen erleiden!)
Dies folgt aus Zusatz 3 zu Satz 1 des § 2 von Mg und aus II, III
des § 1, wenn man bedenkt, daß der Übergang von einem Element
einer Klasse von 21 nach $(2I) zu einem anderen Element derselben
Klasse einen Automorphismus des zu der Klasse zugehörigen zu A kon-
jugierten Körpers darstellt.
Speziell folgt hieraus der
Zusatz: 1. Wenn A frei ist, so läßt sich jeder Automorphismus
von A auch unter elementweiser Invarianthaltung aller übrigen zu A
konjugierten Körper bewirken.
2. Wenn A frei ist, so läßt es sich bewirken, daß Alt in Av und
Av in Alt unter elementweiser Invarianthaltung aller übrigen zu A
konjugierten Körper übergeht; speziell A^ == Aq.
3. Wenn die Zahl der zu A konjugierten Körper endlich ist, so
läßt sich die Bedingung 2 des Satzes durch die Bedingungen 1., 2. des
Zusatzes ersetzen.
Die Bedingung 1. ist ein Spezialfall von Bedingung 2 des Satzes 1.
2. folgt aus Bedingung 1. des Satz 1 durch geeignete Anwendung der
Bedingung 2.
ad 3. Sei är ein Automorphismus von Av.
Wegen 2. gibt es ein Element b^G, das Ao in Av in An
überführt und alles andere invariant läßt. Wegen 1 gibt es ein Element
a^eG, das alle von A verschiedenen Av invariant läßt und in A einen
solchen Automorphismus induziert, daß b^a^b^-1 in Av gerade ä„ in-
duziert und alle von Av verschiedenen zu A konjugierten Körper in-
variant läßt. J7b;, ar br_1 ist dann ein Automorphismus, der das in
Bedingung 2. des Satz 1 verlangte gerade leistet.
Satz 2: Wenn A frei ist und ||2I/$(2l)|j mehr als zwei Elemente
enthält2), so ist für alle Av A/t auch
(1) Av^A/l = A, dem Durchschnitt aller Av.
Wegen Zusatz 2. des Satz 1 brauchen wir (1) nur für A^AV zu
beweisen. Gibt es aber einen von A und Av verschiedenen zu A kon-
jugierten Körper A^, so folgt aus Zusatz 2. des Satz 1, daß wir Av
b d. h. bewirkt gvsG in Av den Automorphismus av, so soll es ein geG
geben, das gleichzeitig in allen Av die Kombination bewirkt, während ja
Aft (u f v) bei gv nicht av zu erleiden braucht.
-) d. h. weder ist 21 eine Gruppe, noch ist die singuläre Mischgruppe.
2. es sich durch ein geeignetes Element aus G bewirken läßt, daß
gleichzeitig alle Av willkürlich vorgegebene Automorphismen erleiden!)
Dies folgt aus Zusatz 3 zu Satz 1 des § 2 von Mg und aus II, III
des § 1, wenn man bedenkt, daß der Übergang von einem Element
einer Klasse von 21 nach $(2I) zu einem anderen Element derselben
Klasse einen Automorphismus des zu der Klasse zugehörigen zu A kon-
jugierten Körpers darstellt.
Speziell folgt hieraus der
Zusatz: 1. Wenn A frei ist, so läßt sich jeder Automorphismus
von A auch unter elementweiser Invarianthaltung aller übrigen zu A
konjugierten Körper bewirken.
2. Wenn A frei ist, so läßt es sich bewirken, daß Alt in Av und
Av in Alt unter elementweiser Invarianthaltung aller übrigen zu A
konjugierten Körper übergeht; speziell A^ == Aq.
3. Wenn die Zahl der zu A konjugierten Körper endlich ist, so
läßt sich die Bedingung 2 des Satzes durch die Bedingungen 1., 2. des
Zusatzes ersetzen.
Die Bedingung 1. ist ein Spezialfall von Bedingung 2 des Satzes 1.
2. folgt aus Bedingung 1. des Satz 1 durch geeignete Anwendung der
Bedingung 2.
ad 3. Sei är ein Automorphismus von Av.
Wegen 2. gibt es ein Element b^G, das Ao in Av in An
überführt und alles andere invariant läßt. Wegen 1 gibt es ein Element
a^eG, das alle von A verschiedenen Av invariant läßt und in A einen
solchen Automorphismus induziert, daß b^a^b^-1 in Av gerade ä„ in-
duziert und alle von Av verschiedenen zu A konjugierten Körper in-
variant läßt. J7b;, ar br_1 ist dann ein Automorphismus, der das in
Bedingung 2. des Satz 1 verlangte gerade leistet.
Satz 2: Wenn A frei ist und ||2I/$(2l)|j mehr als zwei Elemente
enthält2), so ist für alle Av A/t auch
(1) Av^A/l = A, dem Durchschnitt aller Av.
Wegen Zusatz 2. des Satz 1 brauchen wir (1) nur für A^AV zu
beweisen. Gibt es aber einen von A und Av verschiedenen zu A kon-
jugierten Körper A^, so folgt aus Zusatz 2. des Satz 1, daß wir Av
b d. h. bewirkt gvsG in Av den Automorphismus av, so soll es ein geG
geben, das gleichzeitig in allen Av die Kombination bewirkt, während ja
Aft (u f v) bei gv nicht av zu erleiden braucht.
-) d. h. weder ist 21 eine Gruppe, noch ist die singuläre Mischgruppe.