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https://doi.org/10.11588/diglit.43556#0015
Beiträge zur Galois sehen Theorie. 15
Definition 2: Ein freier Körper heißt affektlos, wenn nur der
identische Isomorphismus ein Automorphismus ist.1 2 3)
Affektlose Körper gehen also bei verschiedenen Isomorphismen
in verschiedene Körper über.
Satz 4: Ist A ein freier Körper und enthält ||2l/®(2l)|| mehr
als zwei Elemente, so ist
1. der zu ®(2I) zugehörige Unterkörper jl($(2l)) von A affektlos?)
2. ist die Menge der zu A konjugierten Körper gleichmächtig der
Menge der zu A ($(2I)) konjugierten Körper (der zu gemäß II b zu-
gehörige Körper Av enthält A (f).
3. ist A über A($(2l)) normal und J.($(2I)) 1. Art unter A.
1. folgt aus Bedingung 1 des Satz 1, Satz 4 des § 1 von Mz und
Satz 2 des § 1 von Mg. 2. folgt aus Satz 2 und 3. aus Satz 2 des
§ 2 und Satz 5 des § 2.
Satz 5: Ist A affektlos, so ist
1. A über K endlich.
2. Jedes Element aus A, aber nicht aus K, genügt einer Gleichung
ohne Affekt und erzeugt den Körper AI)
3. A ist primitiv über K, d. h. ein Körper zwischen K und A ist
entweder — K oder — A.
Sei nämlich B ein Körper zwischen K und A und von A ver-
schieden; wegen la des § 1 gibt es dann einen nicht-identischen Iso-
morphismus von A, bei dem B elementweise invariant bleibt; da A
affektlos ist, geht A hierbei in einen von A verschiedenen Körper Av
über und es ist B < A A,,. Nach Satz 2, der anwendbar ist, da hier
$(2I) aus der Identität allein besteht und Körper der Ordnung 2 Normal-
körper sind, ist aber A^AV — K, also K = B, womit 3. bewiesen ist.
Aus 3. folgt aber 2. und aus 2. folgt 1.
Satz 6: Ein freier Körper A hat nur endlich viel konjugierte.
Ihre Anzahl n ist gleich dem Grad von A ($ (21)) über K. Eine
irreduzible Gleichung in K hat nur dann Lösungen in A, wenn ihr Grad
ein Vielfaches von n ist.
*) Daß unsere Definition mit der üblichen aequivalent ist, folgt aus Satz 5,
wenn man noch bedenkt, daß jede Gleichung ohne Affekt einen wegen Satz 1
auch in unserem Sinne affektlosen Körper erzeugt.
2) Die Existenz von A läßt sich auch ohne Benutzung von Zusatz 2
des Satz 2 des § 2 erweisen; cf. den Beweis des Satz 7.
3) Nach Anm. 1 ist diese Bedingung notwendig und hinreichend dafür, daß
ein Körper affektlos ist.
Definition 2: Ein freier Körper heißt affektlos, wenn nur der
identische Isomorphismus ein Automorphismus ist.1 2 3)
Affektlose Körper gehen also bei verschiedenen Isomorphismen
in verschiedene Körper über.
Satz 4: Ist A ein freier Körper und enthält ||2l/®(2l)|| mehr
als zwei Elemente, so ist
1. der zu ®(2I) zugehörige Unterkörper jl($(2l)) von A affektlos?)
2. ist die Menge der zu A konjugierten Körper gleichmächtig der
Menge der zu A ($(2I)) konjugierten Körper (der zu gemäß II b zu-
gehörige Körper Av enthält A (f).
3. ist A über A($(2l)) normal und J.($(2I)) 1. Art unter A.
1. folgt aus Bedingung 1 des Satz 1, Satz 4 des § 1 von Mz und
Satz 2 des § 1 von Mg. 2. folgt aus Satz 2 und 3. aus Satz 2 des
§ 2 und Satz 5 des § 2.
Satz 5: Ist A affektlos, so ist
1. A über K endlich.
2. Jedes Element aus A, aber nicht aus K, genügt einer Gleichung
ohne Affekt und erzeugt den Körper AI)
3. A ist primitiv über K, d. h. ein Körper zwischen K und A ist
entweder — K oder — A.
Sei nämlich B ein Körper zwischen K und A und von A ver-
schieden; wegen la des § 1 gibt es dann einen nicht-identischen Iso-
morphismus von A, bei dem B elementweise invariant bleibt; da A
affektlos ist, geht A hierbei in einen von A verschiedenen Körper Av
über und es ist B < A A,,. Nach Satz 2, der anwendbar ist, da hier
$(2I) aus der Identität allein besteht und Körper der Ordnung 2 Normal-
körper sind, ist aber A^AV — K, also K = B, womit 3. bewiesen ist.
Aus 3. folgt aber 2. und aus 2. folgt 1.
Satz 6: Ein freier Körper A hat nur endlich viel konjugierte.
Ihre Anzahl n ist gleich dem Grad von A ($ (21)) über K. Eine
irreduzible Gleichung in K hat nur dann Lösungen in A, wenn ihr Grad
ein Vielfaches von n ist.
*) Daß unsere Definition mit der üblichen aequivalent ist, folgt aus Satz 5,
wenn man noch bedenkt, daß jede Gleichung ohne Affekt einen wegen Satz 1
auch in unserem Sinne affektlosen Körper erzeugt.
2) Die Existenz von A läßt sich auch ohne Benutzung von Zusatz 2
des Satz 2 des § 2 erweisen; cf. den Beweis des Satz 7.
3) Nach Anm. 1 ist diese Bedingung notwendig und hinreichend dafür, daß
ein Körper affektlos ist.