Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

Daß die Anzahl n gleich dem Grad von A(ß(5I)) ist, folgt aus
den Sätzen 3, 4 und 5.
Sei jetzt f(x) = 0 eine irreduzible Gleichung in K, die in A die
Wurzeln: a.(0’ (i = 1, • • •, m) hat. Ist |p2f/.W(5I) nicht zweielementig,
so gehen die al0’ bei Isomorphismen, die A in Av überführen, wegen
Satz 2 in ein fremdes System a.^ (p = 1, • • -, n - 1) über; wegen I des
§ 1 ist der Grad von f(x) gleich n • m.
Ist 51/,^ (51) j zweielementig, so können wir wegen Satz 3 den
gleichen Schluß an wenden, wenn die al0’ nicht in A ~ Ar gelegen sind;
in A Ar gelegene Elemente genügen wegen Satz 3 aber Gleichungen
vom Grade 2.
Satz 7: Dann und nur dann ist A frei, wenn
1. die Bedingungen der Sätze 2—6 erfüllt sind,
2. jedes irreduzible Polynom f(x) aus K, das in A Nullstellen besitzt,
in A(5f(5l)) in zwei irreduzible Faktoren:
f(x) = g(x) h(x)
zerfällt1'), so daß g(x) in A in Linearfaktoren zerfällt, h(x) in A
irreduzibel bleibt.
A. Sei A frei. Sind wieder al0’ die Nullstellen von f(x) aus A,
m
so sei g(x) =.II(x —al0’) und f(x) = g(x) • h(x). Bei Automorphismen
von A geht g(x) in sich über, also auch h(x), da f(x) es tut; es müssen
also g(x) und h(x) bereits zu A ($(5l)) gehören.2)
Wegen I des § 1 und Satz 1 muß es möglich sein, jede Nullstelle
von g(x) bzw. h(x) in jede andere Nullstelle von g(x) bzw. h(x) unter
Festhaltung von /L($(5l)) bzw. A überzuführen; also folgt wieder aus
I des § 1, daß g(x) in G(^(5l)) und h(x) in A irreduzibel ist.
B. Seien die Bedingungen 1. und 2. unseres Satzes erfüllt. Aus
Satz 2—4 folgt, daß die Bedingung 1. des Satzes 1 erfüllt ist. Aus I
des § 1 und den Bedingungen des Satz 7 folgt ev. durch transfinite
Induktion, daß sich jeder Automorphismus von A unter elementweisem
Invarianthalten der übrigen Körper Av ausführen läßt. Daraus ergibt
sich aber die Gültigkeit des Zusatz 1 zu Satz 1 für alle Av, indem
man durch einen Isomorphismus A in Av überführt; damit ist aber
wegen Satz 6 und Zusatz 3 des Satz 1 auch die Bedingung 2. des Satz 1
erfüllt.
Zusatz 1: Ein Unterkörper B eines freien Körpers A, der Kum-
faßt, ist dann und nur dann frei, wenn er über A ($?(5I)) normal ist.
b g(x) kann selbst Linearfaktor sein.
2) Hieraus ließe sich die Existenz von A (<k(’2l)) erschließen.