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https://doi.org/10.11588/diglit.43556#0017
Beiträge zur G aloissehen Theorie.
17
A. Aus Satz 5 des § 1 von Mz (oder dem Zusatz dazu) und
Satz 1,2 des § 2 folgt, daß 23 eine Untergruppe von ^(21) und A
über B normal ist. Aus 23 < $(2l) folgt aber wegen Ib des § 1, daß
B^A (ß(2I)) ist.
Wir setzen B ={= A ($(2l)) voraus.
Sei jetzt Br zu B über A (<^(2l)) konjugiert; notwendig ist auch
Br < A Bei einem Isomorphismus von A in Av 4= A geht B in
B^ =p (B,Bf) und Br in B^ d= (B1?ß) wegen Satz 2 und Satz 3 über,
wo B1'1''* und Bfv) in Av, aber nicht in A enthalten sind. Es ist dann
sicher unmöglich, gleichzeitig B in sich und Br in überzuführen
(BApB-f), was aber Bedingung 1. des Satz 1 widerspricht; es muß also
B= B} sein, soll B frei sein.
B. Ist B ein Körper zwischen A($(2I)) und A, der über
A ($(2I)) normal ist, so erfüllt er die Bedingungen des Satzes 7 gleich-
zeitig mit A, ist also auch frei; denn in jedem zu A konjugierten Körper
ist dann ein und nur ein zu B konjugierter Körper enthalten.
Zusatz 2: Ein K umfassender Unterkörper des freien Körpers A
umfaßt A zu einer Untermischgruppe 23 von 21 gehört dann
und nur dann ein Unterkörper von A, wenn 25 eine abgeschlossene
Untergruppe von $(2l) ist.
Folgt wieder aus Satz 5 des § 1 von Mz und dem Zusatz dazu,
sowie aus Satz 1 des § 2, sowie dem Zusatz zu Satz 2 des § 2.
§ 4. Die unter dem Körper A freien Körper.
Wir verstehen im folgenden unter U(U<z1) den Vereinigungs-
körper aller zu A über E konjugierten Körper, d. h. den kleinsten A
umfassenden Normalkörper über E. 7i. B. ist in der bisherigen Be-
zeichnung jT(/v<A) = r.
Definition 1: Der Körper B zwischen K und A heißt unter A frei,
wenn die Gruppe G [aller Automorphismen von E(K<i.A'), bei denen
K elementweise invariant bleibt] die Gruppe aller kongruenten Ab-
bildungen der Mischgruppe 21 [Ismorphismenmischgruppe von A über K\
relativ auf die in G realisierte Zerlegung von 21 nach 25 [die
größte Untermischgruppe von 21, bei der B elementweise invariant
bteibt,] ist.
Ist speziell A = E(K<Z B], so ist B frei im Sinne des § 3, ebenso
wenn A = B ist.
Wegen der Sätze 7 und 10 des § 2 brauchen wir wieder nur die
Körper i-ter Art (i = 1, 2, 3) unter A zu studieren.
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A. Aus Satz 5 des § 1 von Mz (oder dem Zusatz dazu) und
Satz 1,2 des § 2 folgt, daß 23 eine Untergruppe von ^(21) und A
über B normal ist. Aus 23 < $(2l) folgt aber wegen Ib des § 1, daß
B^A (ß(2I)) ist.
Wir setzen B ={= A ($(2l)) voraus.
Sei jetzt Br zu B über A (<^(2l)) konjugiert; notwendig ist auch
Br < A Bei einem Isomorphismus von A in Av 4= A geht B in
B^ =p (B,Bf) und Br in B^ d= (B1?ß) wegen Satz 2 und Satz 3 über,
wo B1'1''* und Bfv) in Av, aber nicht in A enthalten sind. Es ist dann
sicher unmöglich, gleichzeitig B in sich und Br in überzuführen
(BApB-f), was aber Bedingung 1. des Satz 1 widerspricht; es muß also
B= B} sein, soll B frei sein.
B. Ist B ein Körper zwischen A($(2I)) und A, der über
A ($(2I)) normal ist, so erfüllt er die Bedingungen des Satzes 7 gleich-
zeitig mit A, ist also auch frei; denn in jedem zu A konjugierten Körper
ist dann ein und nur ein zu B konjugierter Körper enthalten.
Zusatz 2: Ein K umfassender Unterkörper des freien Körpers A
umfaßt A zu einer Untermischgruppe 23 von 21 gehört dann
und nur dann ein Unterkörper von A, wenn 25 eine abgeschlossene
Untergruppe von $(2l) ist.
Folgt wieder aus Satz 5 des § 1 von Mz und dem Zusatz dazu,
sowie aus Satz 1 des § 2, sowie dem Zusatz zu Satz 2 des § 2.
§ 4. Die unter dem Körper A freien Körper.
Wir verstehen im folgenden unter U(U<z1) den Vereinigungs-
körper aller zu A über E konjugierten Körper, d. h. den kleinsten A
umfassenden Normalkörper über E. 7i. B. ist in der bisherigen Be-
zeichnung jT(/v<A) = r.
Definition 1: Der Körper B zwischen K und A heißt unter A frei,
wenn die Gruppe G [aller Automorphismen von E(K<i.A'), bei denen
K elementweise invariant bleibt] die Gruppe aller kongruenten Ab-
bildungen der Mischgruppe 21 [Ismorphismenmischgruppe von A über K\
relativ auf die in G realisierte Zerlegung von 21 nach 25 [die
größte Untermischgruppe von 21, bei der B elementweise invariant
bteibt,] ist.
Ist speziell A = E(K<Z B], so ist B frei im Sinne des § 3, ebenso
wenn A = B ist.
Wegen der Sätze 7 und 10 des § 2 brauchen wir wieder nur die
Körper i-ter Art (i = 1, 2, 3) unter A zu studieren.