Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beiträge zur Galois sehen Theorie.

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Zusatz 1: Zwei zu A konjugierte Körper sind unter den Voraus-
setzungen des Satzes 3 dann und mir dann zusammengehörig, trenn es
einen zu B konjugierten Körper gibt, über dem sie konjugiert sind.
A. Die Automorphismen aus G, die Ä in zusammengehörige
Körper A± (i = 1,2) überführen, induzieren den gleichen Isomorphismus
von B in Bv. Notwendig ist dann Bv in 2t enthalten; wegen Satz 3
sind dann Ar und A2 über Br konjugiert.
B. Sind umgekehrt und A2 über Br konjugiert, so induzieren
wegen Satz 1 Isomorphismen von A, die A in den Körper Ai (i= 1,2)
überführen, den gleichen Isomorphismus von B in Bp. Also sind A1
und A2 zusammengehörig. Speziell folgt der
Zusatz 2: Bann und mir dann gehört ein Körper mit A zusammen,
wenn er zu A über B konjugiert ist.
Satz 4: Ist B 1. Art unter A, so ist B dann und mir dann frei
unter A, wenn
1. A über B frei ist [unter I\B A)j,
2. r(B < A) über Kfrei ist [unter B[K<ZB(B < A) ] = T(KüAj = r].
A. Sei B 1. Art und frei unter A- dann umfaßt wegen des Zusatz 2
zu Satz 3 I\B < A) alle mit A zusammengehörigen Körper. Um 1. zu
beweisen, haben wir die Bedingungen des Satzes 1 des § 3 zu verifi-
zieren. Diese folgen aber aus Satz 2, wenn man diesen nur auf die
mit A zusammengehörigen Körper anwendet, also bei Bedingung 1. die
Einschränkung macht, daß mit A zusammengehörige Körper nur
in zusammengehörige Körper übergehen dürfen. Diese Einschränkung
ist aber mit der Betrachtung von B als Grundkörper gleichbedeutend.
Weiter folgt aus dem Zusatz 1 des Satz 3, daß zwei zu A kon-
jugierte Körper dann und nur dann zusammengehören, wenn sie in dem
gleichen zu jT(B<A) konjugierten Körper enthalten sind. Automor-
phismen von J\B < A) oder einem zu I\B < Aj konjugierten Körper
stellen eine gewisse eineindeutige Abbildung eines Systems zusammen-
gehöriger Körper dar, bei der noch jedem dieser Körper ein beliebiger
Automorphismus vorgeschrieben werden kann. Jetzt folgt aber wieder
aus Satz 1 des § 3 und Satz 2, daß B\B ü A) über K frei ist.
B. Seien die Bedingungen 1., 2. erfüllt und B 1. Art unter A. Zu-
nächst folgt aus 1., daß die Bedingungen des Satzes 2 für die mit A zu-
sammengehörigen Körper erfüllt sind. Da weiter jedem Isomorphismus
von B genau ein zu I\B < A) konjugierter Körper, d. h. also genau ein
System zusammengehöriger Körper entspricht — und zwar eineindeutig
so folgt, analog wie ad A., aus der Bedingung 2., daß die Bedingungen
des Satzes 2 allgemein erfüllt sind.