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https://doi.org/10.11588/diglit.43556#0020
20
Reinhold Baer:
Zusatz 1: Ist B 1. Art und frei unter A, so gibt es nur end-
lich viele zu A konjugierte Körper; ihre Zahl ist n • m, wenn n der
Grad von B und m die Anzahl der zu A über B konjugierten Körper ist.
Dies folgt aus Satz 1 und aus Satz 4 durch zweimalige Anwen-
dung des Satzes 6 des § 3.
Zusatz 2: Ist B 1. Art und frei unter A, so ist der Durchschnitt
aller zu A über K konjugierten Körper
1. B, wenn /SB|| = ,G/B zweielementig ist,
2. K, wenn I;31 /SB | = |G/B|| mehr als zwei Elemente besitzt.
Dies folgt aus den Sätzen 3 und 2 des § 3 und aus Satz 4, 2.
II. Die Körper 2. Art unter A.
Satz 5 : Ist B 2. Art unter A, so ist B dann und nur dann
unter A frei, wenn sich durch Elemente aus G bewirken läßt:
1. eine beliebige eineindeutige Abbildung des Systems der zu A
über K konjugierten Körper, bei der alle Körper nur in ähnliche über-
gehen,
2. daß gleichzeitig alle Av [die zu A über K konjugierten Körper]
willkürlich vorgegebene Automorphismen über EfK<öB) erleiden.1)
Dies folgt aus den Zusätzen 2 und 3 zu Satz 8 des § 5 von Mz,
aus Satz 13, 1 des § 2 und aus III des § 1.
Definition 3 : Ist H ein in d enthaltener, über K normaler Kör-
per, so heißt H zwischen K und A hypernormal, wenn
1. A und die zu A über K konjugierten Körper Av über H nor-
mal sind,
2. man durch Automorphismen von I\K<Z A) bewirken kann, daß
gleichzeitig jedes der Av einen willkürlich vorgegebenen Aiitomorphismus
über H erleidet.1)
Dann gilt der
Satz 5a: Ist B 2. Art unter A, so ist B dann und nur dann
unter A frei, wenn
1. A über E(K<fB) frei ist [unter E\T (K<2 B) <öA]—A]
2. E(K<B) zwischen K und A hypernormal ist.
A. Sei B 2. Art und frei unter A; wenden wir Satz 5 nur auf
die zu A ähnlichen Körper an, d. s. nach Satz 13,1 bzw. Definition
5 des §2 alle und nur die, die zu d. über E(K<fB) konjugiert sind,
so folgt unsere Bedingung 1. aus dem Satz 1 des § 3.
Aus’ Satz 13,1 des § 2 folgt weiter, daß ein jeder zu Ä über K
konjugierter Körper Av genau eine Klasse ähnlicher, zu A über K kon-
) Im Sinne der Anm. 1, p. 13.
Reinhold Baer:
Zusatz 1: Ist B 1. Art und frei unter A, so gibt es nur end-
lich viele zu A konjugierte Körper; ihre Zahl ist n • m, wenn n der
Grad von B und m die Anzahl der zu A über B konjugierten Körper ist.
Dies folgt aus Satz 1 und aus Satz 4 durch zweimalige Anwen-
dung des Satzes 6 des § 3.
Zusatz 2: Ist B 1. Art und frei unter A, so ist der Durchschnitt
aller zu A über K konjugierten Körper
1. B, wenn /SB|| = ,G/B zweielementig ist,
2. K, wenn I;31 /SB | = |G/B|| mehr als zwei Elemente besitzt.
Dies folgt aus den Sätzen 3 und 2 des § 3 und aus Satz 4, 2.
II. Die Körper 2. Art unter A.
Satz 5 : Ist B 2. Art unter A, so ist B dann und nur dann
unter A frei, wenn sich durch Elemente aus G bewirken läßt:
1. eine beliebige eineindeutige Abbildung des Systems der zu A
über K konjugierten Körper, bei der alle Körper nur in ähnliche über-
gehen,
2. daß gleichzeitig alle Av [die zu A über K konjugierten Körper]
willkürlich vorgegebene Automorphismen über EfK<öB) erleiden.1)
Dies folgt aus den Zusätzen 2 und 3 zu Satz 8 des § 5 von Mz,
aus Satz 13, 1 des § 2 und aus III des § 1.
Definition 3 : Ist H ein in d enthaltener, über K normaler Kör-
per, so heißt H zwischen K und A hypernormal, wenn
1. A und die zu A über K konjugierten Körper Av über H nor-
mal sind,
2. man durch Automorphismen von I\K<Z A) bewirken kann, daß
gleichzeitig jedes der Av einen willkürlich vorgegebenen Aiitomorphismus
über H erleidet.1)
Dann gilt der
Satz 5a: Ist B 2. Art unter A, so ist B dann und nur dann
unter A frei, wenn
1. A über E(K<fB) frei ist [unter E\T (K<2 B) <öA]—A]
2. E(K<B) zwischen K und A hypernormal ist.
A. Sei B 2. Art und frei unter A; wenden wir Satz 5 nur auf
die zu A ähnlichen Körper an, d. s. nach Satz 13,1 bzw. Definition
5 des §2 alle und nur die, die zu d. über E(K<fB) konjugiert sind,
so folgt unsere Bedingung 1. aus dem Satz 1 des § 3.
Aus’ Satz 13,1 des § 2 folgt weiter, daß ein jeder zu Ä über K
konjugierter Körper Av genau eine Klasse ähnlicher, zu A über K kon-
) Im Sinne der Anm. 1, p. 13.