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https://doi.org/10.11588/diglit.43546#0007
Zur Einordnung der Theorie der Mischgruppen in die Gruppentheorie. 7
Definition I : Sei XX eine Teilmenge von 9k; XX heißt eine Unter-
mischgruppe von 9k, wenn
a. IX eine Mischgruppe ist für die Komposition ihrer Elemente, die
sie schon als Elemente von 9k besitzen,
b. mit a und t u auch f Element von XX ist.1)
Satz 3: Eine Teilmenge II von 9k ist dann und nur dann eine Unter-
mischgruppe von 9k, wenn
1. der Durchschnitt XX ft von U und von ft eine Untergruppe von
ft ist,
2. nur ganze Klassen von 9k nach XX ft in IX enthalten sind,
3. aus einer Klasse nach ft höchstens eine Klasse nach XX ft in XX
auftritt.2)
A. Wenn IX eine Untermisch gruppe ist, so muß wegen Postulat II
bzw. Bedingung a der Definition mit t aus ft^U und u aus IX auch fit
in XX enthalten sein. Da dies für alle und nur die Elemente t aus ft XX
gilt, so muß ft XX der Kern von XX, also eine Gruppe wegen I sein; wegen
II muß mit ft o XX und u also auch (ft XX) u in XX enthalten sein, womit
auch 2 bewiesen ist.
Sind weiter (ft XX) u und (ft XX) fu, wo f aus ft stammt, in XX
enthalten, so muß wegen b — mit u und tu — auch f in ft XX ent-
halten sein, d. h.
(ft-XX)u = (ft-U)fu,
womit 3 bewiesen ist.
B. Erfüllt die Teilmenge XX von 9k die Bedingungen 1—3, so genügt
sie a; denn wegen 1 erfüllt sie I, II wegen 2 und III ist von selbst
erfüllt, da XX Teilmenge von 9k ist.
Schließlich folgt für alle t aus ft und u aus U wegen 3
(ftWU) u = (ft-XX) tu,
wenn nur (ft XX) t u in XX vorkommt, d. h. f ist in ft^IX enthalten;
also ist auch b erfüllt.
Zusatz: Man erhält die allgemeinste Untermischgruppe XX von 9k,
wenn man eine beliebige Untergruppe von ft gleich XX ft setzt und aus
*) Diese Bedingung wird nötig, da es für Elemente u aus 9k, aber nicht aus ft
keine Inversen u_1 gibt, die u u_1 = 1 (cf. L. Postulat 3 b p. 240) erfüllen, woraus
sich 2 erschließen ließe; die Unabhängigkeit dieser Bedingung folgt sofort aus
Satz 3. Vgl. auch Anm. x) p. 12.
2) Im wesentlichen sind die Bedingungen 1, 2 des Satzes 3 der Bedingung a
der Definition, die Bedingung 3 des Satzes 3 der Bedingung b der Definition
äquivalent.
Definition I : Sei XX eine Teilmenge von 9k; XX heißt eine Unter-
mischgruppe von 9k, wenn
a. IX eine Mischgruppe ist für die Komposition ihrer Elemente, die
sie schon als Elemente von 9k besitzen,
b. mit a und t u auch f Element von XX ist.1)
Satz 3: Eine Teilmenge II von 9k ist dann und nur dann eine Unter-
mischgruppe von 9k, wenn
1. der Durchschnitt XX ft von U und von ft eine Untergruppe von
ft ist,
2. nur ganze Klassen von 9k nach XX ft in IX enthalten sind,
3. aus einer Klasse nach ft höchstens eine Klasse nach XX ft in XX
auftritt.2)
A. Wenn IX eine Untermisch gruppe ist, so muß wegen Postulat II
bzw. Bedingung a der Definition mit t aus ft^U und u aus IX auch fit
in XX enthalten sein. Da dies für alle und nur die Elemente t aus ft XX
gilt, so muß ft XX der Kern von XX, also eine Gruppe wegen I sein; wegen
II muß mit ft o XX und u also auch (ft XX) u in XX enthalten sein, womit
auch 2 bewiesen ist.
Sind weiter (ft XX) u und (ft XX) fu, wo f aus ft stammt, in XX
enthalten, so muß wegen b — mit u und tu — auch f in ft XX ent-
halten sein, d. h.
(ft-XX)u = (ft-U)fu,
womit 3 bewiesen ist.
B. Erfüllt die Teilmenge XX von 9k die Bedingungen 1—3, so genügt
sie a; denn wegen 1 erfüllt sie I, II wegen 2 und III ist von selbst
erfüllt, da XX Teilmenge von 9k ist.
Schließlich folgt für alle t aus ft und u aus U wegen 3
(ftWU) u = (ft-XX) tu,
wenn nur (ft XX) t u in XX vorkommt, d. h. f ist in ft^IX enthalten;
also ist auch b erfüllt.
Zusatz: Man erhält die allgemeinste Untermischgruppe XX von 9k,
wenn man eine beliebige Untergruppe von ft gleich XX ft setzt und aus
*) Diese Bedingung wird nötig, da es für Elemente u aus 9k, aber nicht aus ft
keine Inversen u_1 gibt, die u u_1 = 1 (cf. L. Postulat 3 b p. 240) erfüllen, woraus
sich 2 erschließen ließe; die Unabhängigkeit dieser Bedingung folgt sofort aus
Satz 3. Vgl. auch Anm. x) p. 12.
2) Im wesentlichen sind die Bedingungen 1, 2 des Satzes 3 der Bedingung a
der Definition, die Bedingung 3 des Satzes 3 der Bedingung b der Definition
äquivalent.