Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

auch ganz ft invariant bleiben, schließlich K die Untergruppe von M
und Obergruppe von E, bei der Elemente aus ft wieder in Elemente aus
ft übergehen.
Diese Bezeichnungen werden im folgenden beibehalten.
Satz 2: Dann und nur dann ist
K = N(E < M),
wenn ?R nicht die singuläre Mischgruppe —
= {1, a}> ft' = {1} —
ist.
Dieser Satz enthält den schwierigsten Schritt für den Beweis des
wichtigen Satzes 3.
Zunächst zeigen wir:
E ist stets Normalteiler von K.
Sei nämlich e ein Element aus E, k eines aus K und führe k die
Identität von ft in das Element I aus ft über. Notwendig (Zusatz 1 des
Satz 1) läßt e auch f in Ruhe, also führt k e k_1 die Identität in sich
über, gehört also zu E.
1. Fall: E bestehe nur aus der Identität.
Wegen Zusatz 3 des Satz 1 kann es dann höchstens eine von ft
verschiedene Klasse nach ft geben.
a. ) Es existiere ein ft a # Dann darf wieder wegen Zusatz 3 ft a
und also auch ft nur aus je einem Element bestehen; dies ist der Fall der
singulären Mischgruppe und es ist E =K = {1}, N(E < M) = M = {1, a}
mit a2 = 1.
b. ) TR = ft; dann ist K = M = N(E < M) und TR ist isomorph
zu M.1)
2. Fall: E bestehe nicht nur aus der Identität; also ist SR weder
eine Gruppe noch die singuläre Mischgruppe.
Sei a eine ähnliche Abbildung von SR auf sich, bei der die Identität
in ein Element a übergeht, das nicht aus ft stammt; a gehöre also nicht
zu K.
a.) ft bestehe nur aus der Identität.
Dann muß es eine von ft und ft a verschiedene Klasse ft b geben;
wegen Zusatz 3 des Satz 1 gibt es eine Abbildung e aus E, die n in b,
b in a überführt und sonst alles in Ruhe läßt. Dann geht bei a e a_1
0 Wir sehen hier, daß der übliche Beweis des CÄYLEYschen Satzes, daß jede
Gruppe 9JI als Permutationsgruppe darstellbar ist, ebenfalls unter Benutzung der
Gruppe M aller ähnlichen Abbildungen von auf sich geführt wird; cf. z. B.
A. SPEISER: Theorie der Gruppen endlicher Ordnung; Berlin 1923; p. 11.