DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43546#0017
Zur Einordnung der Theorie der Mischgruppen in die Gruppentheorie. 17
ad 2: Ist f av ein beliebiges Element aus St av und f' irgendein Element aus
St', so lassen sich wegen Satz 4 des § 1 alle Isomorphismen aus Fer in der Form:
f cir —> f F Uy darstellen, woraus 2 nach dem CAYLEYschen Satze1) folgt.
ad 3: Sei a Element aus Fe und seien $ a1; • • ■, $ an die sämtlichen Klassen,
die bei a nicht invariant bleiben; sei a; das Element aus Fej das gerade die Ab-
n
bildung von St a; bewirkt, die a vorschreibt. Es ist: a = II ai.
i=l
Offenbar ist ajak = akai, wenn die ai, a^ verschiedenen Fei h Fet an-
gehören; weiter haben zwei verschiedene Fer nur die Identität gemein.
Satz 5: Ist Fv die Untergruppe von F, bei der S' dy ff invariant bleibt,
so ist
1. Fj, Normalteiler von F und
2. F / Fj, stellt $ dar.
1. folgt daraus, daß St av auch bei F in sich übergeht.
ad 2: Zwei Abbildungen aus F gehören dann und nur dann zur gleichen Klasse
nach F),, wenn sie die gleiche ähnliche Abbildung von Ä’ av auf sich bewirken;
aus Satz 4 des § 1, dem CAYLEYschen Satz1) folgt jetzt unsere Behauptung.
Satz 6! Sei M* eine zu SIR konforme Untergruppe von M und
J (M*) dfe Gruppe aller der Isomorphismen von M*> bei denen M* E
in sich übergeht.
1. J(M*) ist homomorph einer Untergruppe von J, der Gruppe
aller Isomorphismen von SR; hierbei ist der Identität von J die Gruppe
aller der Isomorphismen aus J (M)* — die also einen Normalteiler bildet2)
— zugeordnet, bei der jede Klasse von M* nach M* ^E in sich übergeht.
2. Ist speziell M* = M, so ist J (M) homomorph zu J.
ad 1: Bei Isomorphismen aus J (M*) — und nur bei solchen — gehen
Klassen von M* nach M* E wieder in solche Klassen über; diese be-
wirken also isomorphe Abbildungen von 1| M * / M* E 11 und damit
von SR auf sich. Die übrigen Aussagen von 1 folgen jetzt von selbst.
ad 2: J (M) ist die Gruppe aller Isomorphismen von M, bei denen
E in sich übergeht. Wir haben zu zeigen, daß jeder Isomorphismus von
SR bzw. || M / E || durch einen aus J (M) induziert wird.
Sei also a ein beliebiger Isomorphismus von SR, x ein beliebiges
Element aus M; a und x sind Elemente aus der Gruppe aller eineindeutigen
Abbildungen von SR auf sich, einer gemeinsamen Obergruppe von J
und M; wir können also: a_1 x a und a“1 M a bilden. Es ist:
a_1 M a = M.
Seien nämlich a und f a Elemente aus SR, also t aus bei a_1
gehe a in a' und f in f über; notwendig ist dann auch F aus St (Satz 4
des § 1). Es geht also f a in f a' bei a_1 über.
x) cf. p. 10 Anm. J).
2) cf. A. Loewy: Weber-Festschrift 1912 p. 205.
2
ad 2: Ist f av ein beliebiges Element aus St av und f' irgendein Element aus
St', so lassen sich wegen Satz 4 des § 1 alle Isomorphismen aus Fer in der Form:
f cir —> f F Uy darstellen, woraus 2 nach dem CAYLEYschen Satze1) folgt.
ad 3: Sei a Element aus Fe und seien $ a1; • • ■, $ an die sämtlichen Klassen,
die bei a nicht invariant bleiben; sei a; das Element aus Fej das gerade die Ab-
n
bildung von St a; bewirkt, die a vorschreibt. Es ist: a = II ai.
i=l
Offenbar ist ajak = akai, wenn die ai, a^ verschiedenen Fei h Fet an-
gehören; weiter haben zwei verschiedene Fer nur die Identität gemein.
Satz 5: Ist Fv die Untergruppe von F, bei der S' dy ff invariant bleibt,
so ist
1. Fj, Normalteiler von F und
2. F / Fj, stellt $ dar.
1. folgt daraus, daß St av auch bei F in sich übergeht.
ad 2: Zwei Abbildungen aus F gehören dann und nur dann zur gleichen Klasse
nach F),, wenn sie die gleiche ähnliche Abbildung von Ä’ av auf sich bewirken;
aus Satz 4 des § 1, dem CAYLEYschen Satz1) folgt jetzt unsere Behauptung.
Satz 6! Sei M* eine zu SIR konforme Untergruppe von M und
J (M*) dfe Gruppe aller der Isomorphismen von M*> bei denen M* E
in sich übergeht.
1. J(M*) ist homomorph einer Untergruppe von J, der Gruppe
aller Isomorphismen von SR; hierbei ist der Identität von J die Gruppe
aller der Isomorphismen aus J (M)* — die also einen Normalteiler bildet2)
— zugeordnet, bei der jede Klasse von M* nach M* ^E in sich übergeht.
2. Ist speziell M* = M, so ist J (M) homomorph zu J.
ad 1: Bei Isomorphismen aus J (M*) — und nur bei solchen — gehen
Klassen von M* nach M* E wieder in solche Klassen über; diese be-
wirken also isomorphe Abbildungen von 1| M * / M* E 11 und damit
von SR auf sich. Die übrigen Aussagen von 1 folgen jetzt von selbst.
ad 2: J (M) ist die Gruppe aller Isomorphismen von M, bei denen
E in sich übergeht. Wir haben zu zeigen, daß jeder Isomorphismus von
SR bzw. || M / E || durch einen aus J (M) induziert wird.
Sei also a ein beliebiger Isomorphismus von SR, x ein beliebiges
Element aus M; a und x sind Elemente aus der Gruppe aller eineindeutigen
Abbildungen von SR auf sich, einer gemeinsamen Obergruppe von J
und M; wir können also: a_1 x a und a“1 M a bilden. Es ist:
a_1 M a = M.
Seien nämlich a und f a Elemente aus SR, also t aus bei a_1
gehe a in a' und f in f über; notwendig ist dann auch F aus St (Satz 4
des § 1). Es geht also f a in f a' bei a_1 über.
x) cf. p. 10 Anm. J).
2) cf. A. Loewy: Weber-Festschrift 1912 p. 205.
2