Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

4

Reinhold Baer

nur hinreichende Bedingung dafür, daß eine solche Gruppe eine Realisierung unserer
Zerlegung liefert.
Im § 3 führen wir das allgemeine Problem der Zerlegung auf drei spezielle
Typen zurück:
1. II umfaßt den Kern St und also nur ganze Klassen nach ft;
2. jede Klasse nach und jede Klasse nach II haben genau eine Klasse nach
ft^ll gemein;
3. zwar ist jede Klasse nach 11 oder ft mit jeder andern Klasse durch eine —
endliche — Kette von Inzidenzen, d. s. Klassen, die genau eine Klasse nach II ft
gemein haben, zu verbinden, aber eine Klasse nach 11, die mit ft inzidiert, inzidiert
nicht mit allen Klassen nach ft, die mit II inzidieren.
In den §§ 4—5 können wir eine vollständige Übersicht über die möglichen Zer-
legungen der ersten beiden Typen geben, im § 6 die des dritten Typus in etwas
auf die des zweiten zurückführen. Im § 7 schließlich erörtern wir die Komposition
der sich ergebenden Zerlegungsmischgruppe.
Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Untermischgruppe —
allerdings nicht in abstrakter Form ■— finden sich zuerst in der Dar-
stellung, die Herr A. Loewy neuerdings der GALOIS sehen Theorie ge-
geben hat.1) Unser Zerlegungsbegriff stimmt mit dem Loewy sehen
überein2); dagegen ist die Fassung, die Herr F. K. Schmidt3) dem
Zerlegungsbegriff gegeben hat, in unserem nur als Spezialfall enthalten.
An Begriffen und Tatsachen aus der Theorie der Mischgruppen
setzen wir den Inhalt der §§ 1 und 2 unserer Abhandlung Mg voraus;
an Abkürzungen benutzen wir: aeA = a ist Element von A;
A^B = Durchschnitt von A und B; N(A<B) ist der Normali-
sator der Untergruppe A von B in B; A < B = A ist echte Teilmenge
von B.
Wir bezeichnen Mischgruppen und ihre Untermischgruppen mit großen
Deutschen Buchstaben: 9J(, II, ft, . . ihre Elemente mit kleinen Deutschen Buch-
staben: u, b, j, . . ., Klassen in Mischgruppen mit großen Griechischen Buchstaben:
T, K, . . ., Abbildungsgruppen mit großen Lateinischen Buchstaben: M, E, . . .,
Abbildungen mit kleinen Lateinischen Buchstaben: a, b, . . ., Ordinalzahlen mit
kleinen Griechischen Buchstaben v, fJL, . . ., wenn endlich, meist mit kleinen Lateini-
schen Buchstaben: i, n, . . .

!) A. Loewy : Neue elementare Begründung und Erweiterung der GALOISschen
Theorie; Sitz.-Ber. d. Heidelberger Akad. d. Wiss.; Math.-nat. Kl. 1925 (7) p. 29.
2) Dies zeigen wir an anderer Stelle: R. Baer: Beiträge zur GALOISschen
Theorie § 2.
3) F. K. Schmidt: Bemerkungen zum Brandt sehen Gruppoid; Sitz.-Ber. d.
Heidelberger Akad. d. Wiss.; Math.-nat. Kl. 1927. (8) p.94. Übrigens ist auch bei
SCHMIDT die Zerlegung nicht eindeutig bestimmt, nur wenn — in unserer Be-
zeichnung — II ft Normalteiler von ff ist. Cf. Anm.1) p. 25.