Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Zerlegungen einer Mischgruppe
nach einer Untermischgruppe.
Einleitung.
Wenn wir eine Mischgruppe 9JI nach einer Untermischgruppe II
zerlegen wollen, zerlegen in dem Sinne, wie wir ihn aus der Algebra und
insbesondere der Gruppentheorie als Restklassenbildung kennen, so
läßt sich dies nicht ohne weiteres ausführen; denn es ist im allgemeinen
nicht möglich, das Produkt eines beliebigen Elementes aus ll mit einem
beliebigen Element aus 9k zu bilden.
Trotzdem können wir — in besonderen Fällen — solche Zerlegungen
bewirken, wenn wir uns erinnern, daß sich jede Mischgruppe, von der
singulären abgesehen, als Quotientenmischgruppe, d. h. als System
der Restklassen einer Gruppe nach einer Untergruppe darstellen läßt.
Ist M / E || eine Darstellung von 9k, und ist die Gesamtheit U der
Elemente aus M, die zu Klassen von || M / E 1 gehören, welche Elemente
aus II darstellen, eine Untergruppe von M, so ist im allgemeinen I U / E ||
eine Darstellung von II, und die Zerlegung von M nach U induziert eine
Zerlegung von 9k nach II. Es erweist sich, daß sich auf diese Weise
nicht nach allen Untermischgiuppen Zerlegungen realisieren lassen;
andererseits lassen sich im allgemeinen nach einer Untermischgruppe
auf diese Weise verschiedene, sogar wesentlich verschiedene, d. h.
nicht isomorphe Zerlegungen realisieren. Diese [wesentlich] verschie-
denen Zerlegungen sind natürlich nur in [wesentlich] verschiedenen Dar-
stellungen von 9k realisierbar. Damit ist aber der Zusammenhang der
hier behandelten Fragestellung mit der nach den verschiedenen mög-
lichen Darstellungen einer Mischgruppe hergestellt.1)
Im einzelnen ist folgendes zu bemerken:
Im § 1 entwickeln wir die Grundbegriffe der ,,gruppentheoretischen“ Zer-
legung von 9k nach II und suchen insbesondere die Gruppen auf, die für die Reali-
sierung einer Zerlegung in Frage kommen.
Im § 2 geben wir ein allgemeines charakteristisches Kriterium dafür, wann
diese Gruppen — sie sind natürlich Gruppen ähnlicher Abbildungen von 9k auf
sich2) — hinsichtlich 9k und 11 transitiv sind, sowie eine zwar sehr brauchbare, aber
J) cf. R. Baer : Zur Einordnung der Theorie der Mischgruppen in die Gruppen-
theorie. Sitz.-Ber. der Heidelberger Akad. der Wiss.: Math.-nat. Kl. 1928: 4. Abh. —
im folgenden mit „Mg“ zitiert.
2) Im Sinne von Mg, p. 8. Definition 1 des § 2; cf. Satz 6 des § 2 p. 13 von Mg.
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