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https://doi.org/10.11588/diglit.43547#0009
Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Üntermischgruppe. Q
Satz 6: Ist i ein Isomorphismus von 9)1, der die erste in die zweite
Zerlegung überführt, und wird die erste Zerlegung durch || Ax / Ut ||
realisiert, so die- zweite durch || A2 / U2 |j, wenn
A2 = i-* 1 2 i, U2 = i“1 Ux i
ist.
Denn wir zeigten in Mg § 3 beim Beweis des Satz 62, daß i_1 x i eine
ähnliche Abbildung von 9k auf sich ist, wenn x es ist und wenn i ein
Isomorphismus von 9)1 ist; dabei induziert: x —*■ i_1 x i den Isomorphis-
mus von M, der in 9)1 gerade i bewirkt.
§ 2. Die Gruppe der kongruenten Abbildungen.
Es liege eine Zerlegung von 9k nach der Untermischgruppe U im
Sinne der Definition 1 des § 1 vor.
Definition 1: Ein vollständiges, zusammenhängendes System E ist eine Menge von
Klassen nach ft und nach U mit den folgenden Eigenschaften:
a. ) es gehört wenigstens eine Klasse zu E;
b. ) mit irgendeiner Klasse K bzw. Y nach ft bzw. U gehören auch alle die Klassen
nach U bzw. ft zu E, die mit K bzw. Y inzidieren;
c. ) ist T eine a.) b.) erfüllende Menge, so ist E Teilmenge von T1).
Satz 1: Dann und nur dann ist die Gruppe A aller kongruenten Abbildungen
transitiv, wenn es für irgendzwei vollständige, zusammenhängende Systeme und
E2 eine eineindeutige Abbildung der Klassen aus E1 auf die aus E2 gibt, so daß
1. Klassen nach ft bzw. II auf Klassen nach ft bzw. U abgebildet werden,
2. zwei Klassen dann und nur dann inzidieren, wenn ihre Bildklassen es tun,
3. inzidieren die Klassen Yj (i = 1, 2) nach U mit der Klasse K = fta nach
ft in Kr>Yi = (ft«-' U) ti a, so die Bildklassen Y f mit der Bildklasse K' — fta' in
K'^Yf = (ft^U) fj a'.
4. sind Kfp Yj (i = 1, 2) zwei inzidierende, sonst aber beliebige, feste Klassen
aus E\, so soll bei dieser Abbildung K* in K%, YJ in YJ übergehen.
A. Wenn A transitiv ist, so muß 4. durch eine Abbildung ae A erfüllbar sein;
da a ähnlich ist, muß hierbei 3. erfüllt werden; 1. und 2. schließlich folgen aus dem
Satz 1 des § 1.
B. Wenn A transitiv sein soll, so muß es in A eine Abbildung a geben, die die
Identität aus 9)1 in ein beliebig vorgegebenes Element u e 9)1 überführt. Wir haben
also ein solches a zu konstruieren.
Enthalte Ex u. a. ft und U, E2 die Klassen K und Y, für die a e K^Y gilt.
Dann gibt es eine den Bedingungen 1. —3. unseres Satzes genügende Abbildung ä
von Yj auf E2, bei der ft in K, 11 in Y (Bedingung 4) übergeht. Um a gemäß Zusatz 3
zu Satz 1 des § 2 von Mg zu bestimmen, setzen wir zunächst fest, daß die Identität
ü Da bei Abbildungen aus A Klassen nach ft bzw. II wieder in Klassen nach
ft bzw. II übergehen, so gehen bei Abbildungen aus A
1. inzidierende Klassen wieder in inzidierende und also
2. vollständige, zusammenhängende Systeme wieder in solche über.
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Satz 6: Ist i ein Isomorphismus von 9)1, der die erste in die zweite
Zerlegung überführt, und wird die erste Zerlegung durch || Ax / Ut ||
realisiert, so die- zweite durch || A2 / U2 |j, wenn
A2 = i-* 1 2 i, U2 = i“1 Ux i
ist.
Denn wir zeigten in Mg § 3 beim Beweis des Satz 62, daß i_1 x i eine
ähnliche Abbildung von 9k auf sich ist, wenn x es ist und wenn i ein
Isomorphismus von 9)1 ist; dabei induziert: x —*■ i_1 x i den Isomorphis-
mus von M, der in 9)1 gerade i bewirkt.
§ 2. Die Gruppe der kongruenten Abbildungen.
Es liege eine Zerlegung von 9k nach der Untermischgruppe U im
Sinne der Definition 1 des § 1 vor.
Definition 1: Ein vollständiges, zusammenhängendes System E ist eine Menge von
Klassen nach ft und nach U mit den folgenden Eigenschaften:
a. ) es gehört wenigstens eine Klasse zu E;
b. ) mit irgendeiner Klasse K bzw. Y nach ft bzw. U gehören auch alle die Klassen
nach U bzw. ft zu E, die mit K bzw. Y inzidieren;
c. ) ist T eine a.) b.) erfüllende Menge, so ist E Teilmenge von T1).
Satz 1: Dann und nur dann ist die Gruppe A aller kongruenten Abbildungen
transitiv, wenn es für irgendzwei vollständige, zusammenhängende Systeme und
E2 eine eineindeutige Abbildung der Klassen aus E1 auf die aus E2 gibt, so daß
1. Klassen nach ft bzw. II auf Klassen nach ft bzw. U abgebildet werden,
2. zwei Klassen dann und nur dann inzidieren, wenn ihre Bildklassen es tun,
3. inzidieren die Klassen Yj (i = 1, 2) nach U mit der Klasse K = fta nach
ft in Kr>Yi = (ft«-' U) ti a, so die Bildklassen Y f mit der Bildklasse K' — fta' in
K'^Yf = (ft^U) fj a'.
4. sind Kfp Yj (i = 1, 2) zwei inzidierende, sonst aber beliebige, feste Klassen
aus E\, so soll bei dieser Abbildung K* in K%, YJ in YJ übergehen.
A. Wenn A transitiv ist, so muß 4. durch eine Abbildung ae A erfüllbar sein;
da a ähnlich ist, muß hierbei 3. erfüllt werden; 1. und 2. schließlich folgen aus dem
Satz 1 des § 1.
B. Wenn A transitiv sein soll, so muß es in A eine Abbildung a geben, die die
Identität aus 9)1 in ein beliebig vorgegebenes Element u e 9)1 überführt. Wir haben
also ein solches a zu konstruieren.
Enthalte Ex u. a. ft und U, E2 die Klassen K und Y, für die a e K^Y gilt.
Dann gibt es eine den Bedingungen 1. —3. unseres Satzes genügende Abbildung ä
von Yj auf E2, bei der ft in K, 11 in Y (Bedingung 4) übergeht. Um a gemäß Zusatz 3
zu Satz 1 des § 2 von Mg zu bestimmen, setzen wir zunächst fest, daß die Identität
ü Da bei Abbildungen aus A Klassen nach ft bzw. II wieder in Klassen nach
ft bzw. II übergehen, so gehen bei Abbildungen aus A
1. inzidierende Klassen wieder in inzidierende und also
2. vollständige, zusammenhängende Systeme wieder in solche über.
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