Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Untennischgruppe. H

Zusatz : Enthält ft 11 einen von der Identität verschiedenen Normal-
teiler von ft, so ist jede Zerlegung von 9k nach U gemäß (Z) realisierbar,
für die die Gruppe A aller congruenten Abbildungen transitiv ist.
Die hier angegebene Bedingung ist im allgemeinen nicht notwendig.
Wegen des Zusatzes zu Satz 3 des § 1 haben wir nur zu zeigen, daß
A zu 9k konform, U hinsichtlich 11 transitiv ist; A ist aber n. V. hin-
sichtlich 9k, also auch U hinsichtlich 11 transitiv; wendet man Satz 2 auf
ft an, so folgt, daß die Bedingung des Satz 5 des § 2 von Mg erfüllt ist,
woraus der Zusatz folgt.

§ 3. Reduktion einer vorgelegten Zerlegung auf einfachere.
Wegen Satz 1 des § 1 haben wir nur kongruente Abbildungen von
9k zu studieren, um zu ermitteln, ob eine vorgelegte Zerlegung sich gemäß
(Z) des § 1 realisieren läßt. Wegen Satz 3 des § 1 betrachten wir die
Gruppe M* aller kongruenten Abbildungen von 9k auf sich. Die Unter-
gruppe aller und nur der Elemente von M*, bei denen eine gewisse Unter-
mischgruppe 21 von 9k in sich übergeht, wollen wir stets A* nennen.
Definition I Eine Untermischgruppe 11 von Al heiße 1. Art [in 9k]
wenn 11 den ganzen Kern von 9k umfaßt, d. h. wenn
11 - ft = ft
ist.
Ebenso heiße eine Zerlegung nach einer Untermischgruppe 1. Art
eine Zerlegung 1. Art.
Definition 2 : Eine Zerlegung von 9k nach 11 heiße einfach, wenn
es bei ihr ein und nur ein vollständiges, zusammenhängendes System1) gibt,
d. h. wenn irgendein Paar von Klassen nach ft 11 durch eine endliche
Kette von Inzidenzen verbunden werden kann.
Satz I : Es liege eine gruppentheoretische Zerlegung von 9k nach
11 vor; dann gibt es eine Untermischgruppe 11, von 9k, so daß
1. Ux 1. Art in 9k ist,
2. durch die vorgelegte Zerlegung von 9k nach 11 in 11 x eine in Ut
realisierbare, einfache Zerlegung von llj nach 11 induziert wird,
3. die Zerlegung von M* nach U* eine Zerlegung von 9k nach 1IX
realisiert, deren einzelne Klassen je aus einem und nur aus einem voll-
ständigen, zusammenhängenden System von 9k nach 11 bestehen.
Sei nämlich 11 x das 11 und ft umfassende vollständige, zusammen-
hängende System; dann ist 11, 1. Art in 9k und es gilt: 11 Ar 11 x 9k,
also auch U* A=. U? M* und U* - E U* - E M* - E = U* - E,
also U*-E = M*-E.

Vgl. Definition 1 des § 2.

2*