Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Untermischgruppe. 13
§ 4. Die Zerlegungen I. Art.
Sei im folgenden 11 eine Untermischgruppe 1. Art von 9J1, d. h.
U - ft = ft
und liege eine Zerlegung von slk nach 11 vor.
Satz I : Dann und nur dann ist gleichzeitig M* —- die Gruppe aller
kongruenten Abbildungen von W auf sich — gegenüber sl'c
und U* — die größte Untergruppe von M*, bei der 11 in sich über-
geht — gegenüber II transitiv,
wenn die Mengen der Klassen nach ft, die zu verschiedenen Klassen
nach 11 gehören, gleichmächtig sind.
A. Ist M* transitiv, so gibt es kongruente Abbildungen von 9)1 auf
sich, bei denen II in eine beliebig vorgegebene Klasse Y nach 11 übergeht;
da aber n. V. die Klassen nach 11 ebenso wie II ganze Klassen nach ft
enthalten, so bewirkt diese Abbildung eine eineindeutige Abbildung der
in 11 enthaltenen Klassen nach ft auf die in Y enthaltenen.
B. Sei die Bedingung des Satzes erfüllt; wir haben nur die Transi-
tivität von M* nachzuweisen, da aus ihr die von U* folgt — M* besteht
ja nur aus kongruenten Abbildungen. — Sei a e W beliebig.
Br a e Y 4 11.
Seien ftalr die Klassen von Y und ftaOv die von II; speziell sei
a00 = 1 und a10 = a. Sei die Zuordnung der Klassen von 11 auf die
von Y so beschaffen, daß fta0J, <Ke Klasse ftalr zugeordnet ist.
Gemäß Zusatz 3 des Satz 1 des § 2 von Mg definieren wir eine ähn-
liche Abbildung a von ibt auf sich, indem wir aor und alv einander zu-
ordnen; in den übrigen Klassen von iOl nach 11 sei die Abbildung die
Identität.
a leistet das Verlangte.
B2. Q £ 11.
Die ähnliche Abbildung a sei in allen von ft und fta verschiedenen
Klassen nach ft die identische, für diese aber durch die Zuordnung der
Identität zu a und umgekehrt definiert.
Durch eine einfache Modifikation des Beweises B. folgt — ev. unter
Anwendung transfiniter Induktion — der
Zusatz: Genügt eine Zerlegung von Vi nach 11 der Bedingung des
Satz 1, so läßt sich durch eine kongruente Abbildung von auf sich bewirken
1. eine beliebig vorgegebene, eineindeutige Abbildung des Systems der
Klassen von iVc nach 11 auf sich,
2. eine beliebig vorgegebene, eineindeutige Abbildung des Systems der