Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Untermischgruppe. 15
= yx + Y2 Y3 + V4 + .. yi — ll. Wir erhalten eine neue
Einteilung:
9# = y4 + y2' + y3' + y4 + .. ■, wobei
Y2 o y3 = ,fta3, Yß y2 = Ä a2 ist, während in den übrigen Klassen
nach St je Yi mit V/ (i = 2,3) übereinstimmt, d. h. es wird eine Klasse
nach St aus Y2 in Yß und eine aus V3 in Y2 hineingetan.
Satz 3 : Für 11 t 9)1 ist eine der Bedingung des Satz 1 genügende
Zerlegung dann und nur dann realisierbar, wenn 11 und. von der singu-
lären Mischgruppe verschieden sind.
A. Die Notwendigkeit der Bedingung folgt aus dem Zusatz des
Satz 3 des § 2 von Mg.
B. Es ist wegen Satz 5 des § 2 von Mg und wegen Satz 1 nur zu zeigen:
wenn 11 und 9)1 von der singulären Mischgruppe verschieden sind,
so gibt es zu jeder Klasse a f ,ii wenigstens eine kongruente Abbildung
von yjl auf sich, die zwar aber nicht Va invariant läßt.
Enthält ft wenigstens ein Element f h 1, so leistet die durch a —► f a
bestimmte ähnliche Abbildung von ft a auf sich -— die übrigen Klassen
bleiben invariant ■— das Verlangte.
Besteht aber der Kern nur aus der Identität, so muß U wenigstens
zwei von der Identität verschiedene Elemente enthalten, deren Permu-
tation möglich ist; analog für die von 11 verschiedenen Klassen nach 11.
Aus Satz 1 und Satz 3 folgt der
Zusatz: Dann und nur dann gibt es wenigstens eine realisierbare
Zerlegung von 9)1 nach 11, wenn
1. 11 und 9k von der singulären Mischgruppe verschieden sind, und
2 a. wenn die Zahl m der Klassen von 9)1 nach ft endlich ist, m ein
Vielfaches der Zahl der Klassen von 11 nach ft' ist, oder
2 b. wenn die Menge der Klassen von 9)c nach ft unendlich ist,
die Mächtigkeit der Menge der Klassen von 11 nach ft1 nicht kleiner ist als
die Mächtigkeit der Menge der nicht in 11 auftretenden Klassen von 9)1
mcä ft.
§ 5. Die Zerlegungen 2. Art.
In diesem § 5 sei 11 stets eine Untermischgruppe 2. Art von 9k; eine
Zerlegung von 9k nach 11 hat also wegen Satz 2 des § 3 folgende Eigen-
schaften :
1. 11 ist eine Klasse dieser Zerlegung,
2. jede Klasse nach 11 inzidiert mit jeder Klasse nach ft in genau
einer Klasse nach ft 11.