Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer :

Definition I : Zwei Klassen (i = 1,2) von 9k nach St heißen
ähnlich, ivenn es wenigstens ein Paar von Elementen a^eK^Vi gibt,
so daß für alle Klassen Yv von 9k nach 11 gilt:
Ki - Yv = (StW 11) lv cq,
wo die Klasse (St II) fr von St nach SW II w noch von Yv, nicht aber
von Ki abhängt.
Satz I : Es ist möglich, Klassen ähnlicher Klassen von 9)1 nach St
zu bilden.
Wir haben nur die Transitivität der Ähnlichkeitsbeziehung zu er-
weisen :
seien also Kr und K2, K2 undÄ3 ähnlich, d. h. es gibt ein Paar cq£ 11
(i = 1,2) und ein Paar äj e II K- (j = 2, 3), so daß für alle Yv gilt:
W = (SW ll) a1}
K2^YV = (St’ - U) a2,
= (St U) tv a2,
K3 ''Yv = (!W 11) fr a3.
Es ist aber a2 = fu a2 mit Iu £ SW ll; also ist (SW II) tr = (SW 11) Ipt«1,
Setzen wir a3 = t“1 ü3, so ist a3cÄW U und
K3 - Yv = (St -11) tv ü3 = (St - 11) tv t;1 ä3 = (St - II) a3.
Satz 2: Bei kongruenten Abbildungen gehen ähnliche Klassen [von
9k nach ä'] wieder in ähnliche über.
Sei nämlich bei einer kongruenten Abbildung Yv> das Bild von Yv
und Äf das Bild von K{ (i= 1, 2), so folgt aus der Ähnlichkeit dieser
Abbildung, daß
(St1 11) tr cq = Yv Ki in Yv> Kv = (St II) öj
übergeht, wenn Qj das Bild von cq ist. Sei jetzt cq £ IW Ki — Yo Kx,
d. h. Ä\ und K2 sind ähnlich; dann ist:
Si e P0' ~
Sei jetzt YVq so bestimmt, daß bei unserer kongruenten Abbildung YV()
in U übergeht, d. h.
-^(vo)' = Po ~ Öl-
setzen wir dann: cq' = fro (q und fr f^1 = K', so wird:
£ (St II) fFo cq = Y{yoy Ky = IW Äg und
Ky~Yv, = (st-ll) (f„ fÄo1) (f^0 Ej)
= (SW 11) W ay.
Definition 2: Ist K irgendeine Klasse nach St', so ist für jedes a £ K 11
die aus den Gleichungen: