Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

Wendet man die Definition der charakteristischen Abbildung auf
ft selbst an, so ergibt sich für jedes I e ft 11 eine charakteristische Ab-
bildung :
k: (ft - 11) = ft - Yv (ft - 11) f„ t = (ft - 11) fr(k) = ft r. yvw
A. Seien cx und c2 für die gleiche Klasse K nach ft charakteristisch;
dann ist:

/< - W== (ft - ix)
= (ft - u)

ail a_ £ 2
S(c2-1) ü2 j

Daraus folgt:
also:

a2 = i 1 a1 mit f s ft - II;

(Ä 11) Up, (^(ft-U) f-i av d.h.
(ft - 11) fz,(cri) = (ft^ll) f 1 = (ft-11) f[)(c2-l)](k-l) = (ft^ll) ^(c2-lk-l)
d. h. c^1 = c2-1 k_1 oder c1 = k c2.
B. Seien cx = k c2 und c2 für K charakteristisch; es ist zu zeigen,
daß auch cx dies ist.
Es ist K- Yv = (ft - 11) tr(C9:1) a2 = (ft -11) (Iv(c51) K1) (f a2)
(ft - 11) ^,(C2-i)](k-i) Qi für h=f
= (ft - II) fr(crl) ax wegen cf1 = c,“1 kW
Es folgt hieraus sogar der
Zusatz: Das System C aller charakteristischen Abbildungen von
'I ft / ft’ - 111| auf sich enthält mit einem Element c auch alle Elemente
kc, wenn k dieGesamtheit A der für ft charakteristischen, — d.s. die durch
Elemente aus ft - 11 gemäß Hilfssatz (la) beim Beweis von Satz 6 des
§ 2 von Mg induzierten ähnlichen — Abbildurbgen von || ft’ / ft - II || auf
sich durchläuft.
Es gibt also eine Zerlegung || C / K || von C in Klassen nach A:
C = A + A cx + •’•■•'+ A cr- • • •.
Hierbei hängt A nur von ft und ft - II ab und ist stets eine Gruppe.1)
Satz 5: Es liegen zwei Zerlegungen von nach II in die Klassen
(i = 1, 2) mit den charakteristischen Systemen C(1) vor.
Dann und nur dann sind die beiden Zerlegungen isomorph, wenn
1. = i"1 C(2) i
ist, wo i ein Isomorphismus von || ft / ft - 111| ist, der durch einen Iso-
morphismus von ft induziert wird2), und wenn
2. die zur Klasse Ac von C nach A gehörige Klasse ähnlicher Klassen
der ersten Zerlegung gleichmächtig der zur Klasse
i_1 A c i = A (i-1 c i)
zugehörigen Klasse ähnlicher Klassen der zweiten Zerlegung ist.

T) Vgl. Definition 2a auf S. 22.
2) Bei dem also die Elemente von fest bleiben.