Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Untermischgruppe. 21
(3) Zwei Elementen ausU* wird durch (1) dann und nur dann die
gleiche charakteristische Abbildung von | Sü / St1 — IX || auf sich zugeordnet,
wenn sie zur gleichen Klasse von U* / J* gehören.
Denn dann und nur dann bewirken die beiden Elemente die gleiche
Abbildung der Yv.
(4) Wenn U* hinsichtlich U transitiv ist, bewirkt (1) eine isomorphe
Zuordnung von C und U*/J*.
Da durch (1), (2) U*/J* als Gruppe charakteristischer Abbildungen
von || St/^-U || auf sich interpretiert ist, ist nur zu zeigen, daß jeder Ab-
bildung aus C gewisse aus U* durch (1) zugeordnet sind; das folgt aber aus
der Transitivität von U* gegenüber 11, die erlaubt, St durch Elemente aus
U* in beliebige Klassen nach St überzuführen, da II ja 2. Art in 9k ist.
Aus (4) folgt die Notwendigkeit der Bedingung 1. Es folgt noch:
(5) Ist A* die Untergruppe von U*, bei der St in ähnliche Klassen
übergeht, so ordnet (1) bzw. (4) der Untergruppe A*/J* von U*/J* die
Untergruppe A von C zu.
Die Notwendigkeit der Bedingung 2. folgt aus Satz 2.
B. Sei u e K-U beliebig und sei:
(St - 11) tp u = K^YV(C)
sowie
c: (St-II) f,— (St1-II) tv(c)
die hierdurch definierte, für K charakteristische Abbildung. Sei
x: (St-11) tr —>(St-ll) fv(x)
ein beliebiges Element aus C; wegen Bedingung 1 enthält C dann auch:
xc: (St-11) fr—*(St-ll) fWx)](C) = (St - 11) tHxc)
Die Zuordnung: x —> xc bewirkt eine ähnliche, also eineindeutige Ab-
bildung von C und von |l C / A || auf sich1). Durch sie wird der Klasse
KAx ähnlicher Klassen nach St die Klasse KAxc ähnlicher Klassen nach St
zugeordnet. Wegen Bedingung 2 können wir diese Zuordnung zu einer
eineindeutigen Zuordnung der Klassen Kx,„ aus KAx zu jeder Klasse
K^,^ aus KAxc erweitern; speziell soll K = Kc,0 dem St = K1>0 zugeord-
net sein.
Sei ax)jU e 11 derart, daß Kx>(U^yv = (St - II) ax,^ ist;
speziell a1>0 = 1 und ac,0 = u.
Gemäß Zusatz 3 des Satz 1 des § 2 von Mg definieren wir jetzt eine
ähnliche Abbildung u von 9k auf sich durch die Angabe:
* ^xe’W
1) Dies folgt ebenfalls aus Bedingung 1. Vgl. Mg S. 10 Anm. und S. 13
Hilfssatz (2).