Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Zerlegungen einer Miscligruppe nach einer Üntermiscbgruppe. 23
Kc(f) r(k) = (d r' H) ^(c1) ^O[(ck)_1] ^c(i)
= (St-U) f„(c-i) r^c-1) uc(I)
= ($<■>11) f^c^k-hc'1)) nc(f)> andererseits:
= ($^11) f^kc-1«) oc(D)
also ist k c_1(f) = c_1 k“1(c_1) oder
c(f) = k(c-1)ck
ist eine für Ä^(t) charakteristische Abbildung von || $ / $ <> ll |j auf sich.
B. (1) Dann und nur dann gehören c-, und c2 zur gleichen Klasse
von C nach A, wenn cx(f) = c2(f) ist.
Sei nämlich aeK durch
($ 11) fj, —> ($ U) fr ta mit fa e $ <■> 11
definiert. Wir wollen k[(ac)_1] gemäß Bedingung 1 bestimmen.
Es ist t[(ac) = fo[k'i(ac)-i] = lo[k"1c_1a'1] ^oEk-1c-1](a-1)
= t(c_1) f“1, d. h. es ist
k[(ac)_1] = k(c_1) a_1.
Ist jetzt cx = a c2, so ist
cx(f) = k (cp1) cx k = k (c^1 a_1) a c2 k nach obigen
= k^ä1) c2 k = c2(f)
Die Umkehrung folgt aus der Tatsache, daß c [f (U1)] zur gleichen Klasse
von C nach A gehören muß wie c (zu U1 gehören Abbildungen von 9k,
die zu denen invers sind, die zu I gehören).
(2) Mit c durchläuft auch c(f) alle Klassen von C nach A für festes f.
Denn die Zuordnung der Bedingung 1: c —► c (f) ordnet der Klasse
von c(f“1) die Klasse von c zu.
(3) Für jedes f e $ bewirkt die Zuordnung: c —* c (f) der Bedingung 1
eine eineindeutige Abbildung von || C / A auf sich.
Folgt aus (1) und (2).
Wir können also für festes 1 e $ jeder Klasse Kc ähnlicher Klassen
die Klasse Kc(!) eineindeutig zuordnen; wegen der Bedingung 2 können
wir diese Zuordnung auf die Klassen nach $ aus Kc ausdehnen und der
Klasse K(., von Kc die Klasse KC(I), aus Kc(f) eineindeutig zuordnen;
speziell sei $ sich selbst zugeordnet.
Sei jetzt ac, £ Kc, II derart, daß
Yv = ($'''' 11) cic,
ist; speziell sei ax,0 = 1, wenn K1>0 = $ ist.
Gemäß Zusatz 3 des Satz 1 des § 2 von Mg definieren wir jetzt eine
ähnliche Abbildung a von 9k auf sich durch die Festsetzung:
_ *1 1(c 1) öC(j)JjU= dC(j),iM.1)
Hierbei ist äc(n>jM so zu bestimmen, daß
Kc(f))/z^FV(k) = (®^U) ist.