Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

Hierbei geht a1>0= 1 in B^-i) ai,o — f über. Wir haben zu zeigen,
daß allgemein bei a die Klasse Yv nach 11 in YvW übergeht.
Es geht: Kc, ^Yv = (St 11) B(c-i) ac, in
(SWll) t^c-i) äc(f), = (St ^11) f^c-ikWc-1)) öc(f))jU über.
Andererseits ist
^c(t)> p. ” ^(k) = (® 11) B(kc-X(t)) ac(l)>/z
Wegen Bedingung 1 ist schließlich:
k c_1 (f) = c_1 k-1(c_1) also geht bei a
Kc, Yv in KC({), KV(k) über, woraus das zu zeigende folgt.
Zusatz: Sei 92 der größte in Ä ° 11 enthaltene Normalteiler von
St; dann und nur dann gehört für alle f e St das gemäß Bedingung 1 des
Satz 7 dem c zugeordnete c (t) zur gleichen Klasse von C nach A wie c selbstx),
wenn c durch einen Isomorphismus von St / 92 auf sich induziert wer-
den bann.
A. Sei für alle f e St das nach Bedingung 1 bestimmte c (f) = a(f) c
mit a(I) e A. Dann ist:
(St 11) = (St 11) fxk-ic-i) ^(k-Vi)
= (St o 11) tr(c-i) fa’l(t)
mit ta-i(f) £ U St. Also ist:
(St 11) fl/[(ck)'1] (St ° 11) lyCc’1) fa’1(t)B[(ck)'1]
= (St - 11) f^e-1) f,
WO also f = ta-!(f) f0[(ck)-i] ist-
(1) Dann und nur dann gilt f 1 f21 £ 92, wenn auch fx fä1 £ 52 gufo.
Dann und nur dann gehören fx und f2 zur gleichen Klasse nach
St W 11, wenn f0[(cki)-i] = B[(ck,)-i] ist- Das gleiche gilt von fx und f2.
Sei deshalb B£SWll (i = 1, 2) undBtfcki)-1] = B also B = fa-i(fi)£ St^ll.
Weiter gilt dann und nur dann fxf21 £ 92, wenn kx = k2 ist. Dies
ist wieder dann und nur dann der Fall, wenn:
(SW 11) fr(c-i) ta-i(f,) = (^ ^ U) B(c-1) la-i(tj) 0(i-er
(St^U) fJ)(c-i) = (SwII) fr(c-i) ta-i(f2) la-Rfj) für alle v ist, woraus (1) folgt.
Gleichzeitig haben wir gezeigt:
(2) Dann und nur dann gehören B und t2 zur gleichen Klasse von
St nach ® o 11, wenn t x und f2 es tun.
(3) Die Zuordnung: f_1 —> f stellt einen Isomorphismus von St / 92
dar, der einen Isomorphismus von || M / ä 111| induziert.
Wegen (1) und (2) ist nur zu zeigen, daß:
92 tx t2 = 92“G • 9Td ist.
W7ir setzen -— zur Abkürzung — — B 2-

*) D. h. A c — A c(t).