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https://doi.org/10.11588/diglit.43547#0025
Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Untermischgruppe. 25
Es ist: — 11) ^[(ckijj)'1] — (St1 H) fp^c-1) ti2
= (St U) ^[(ckj k2)-U = (® U) ^[{(ckUkJ-i]
= (St - H) ^[(ck.PU 12 = (« U) Ir(c-l) 11 12-
(4) Die Zuordnung: f_1 —> f induziert c_1 in || f A 11||.
Es wird nämlich der Klasse:
(St - 11) f“1 = (St - 11) f0[k-i] von || St / St - 111| die Klasse:
(St -II) f = (St - 11) la-i(f) loKek)"1] — (St’ - 11) f[0(k-l)](c-l)
zugeordnet.
Aus (3) und (4) folgt aber die Notwendigkeit der Bedingung des
Zusatzes.
B. Werde c_1 durch den Isomorphismus: 9H“1-> 9cf von St / 9t
induziert; dann ist:
(St-II) ^[(ck)"1] lopck)"1] = (Sl 11) [11 l'Hk-1) lo^k’1) l21](c'i)
= (st-ii) [fi i, 1-1 (f0 r1)-1 = (St-11) u-1) 13,
wo ti £ St - 11 für i = 1, 2, 3 ist.
((St - II) f^(c-i) bedeutet ja nur, daß der obige Isomorphismus das
Element 91 fV(C-i) von $/9l gewissen Elementen aus (Ä’-II) zuordnet.)
Satz 8: Dann und nur dann ist M* hinsichtlich 9)1 und U* hinsicht-
lich 11 transitiv, wenn
1. C eine Gruppe ist,
2. für jedes f £ $ aus c e C auch c(I) £ C folgt, wo c(f) gemäß Be-
dingung 1 des Satz 7 zu bestimmen,
3. die Klassen ähnlicher Klassen gleichmächtig sind.
Die Notwendigkeit der Bedingungen 1.-3. folgt aus Satz 6 und
Satz 7, das Hinreichen eben daraus, wenn der folgende Hilfssatz
bewiesen ist:
Wenn M* hinsichtlich Ä’ und 11 transitiv ist, so ist M* auch hinsichtlich
9)t transitiv.
Sei m £ 9Ji, m = tu mit f £ St, u £ 11; sei a e M* derart, daß die
Identität in t, b £ M* derart, daß sie in u übergeht; dann geht sie bei
ab in m über.
Zusatz ! : Die Bedingungen 1 und 2 des Satz 8 sind z. B. erfüllt
1. wenn C = A ist1},
2. wenn C die Gruppe aller eineindeutigen Abbildungen von |j St/St-111
auf sich ist, bei denen St - 11 fest bleibt,
3. wenn C eine Gruppe von Isomorphismen von || ^ / ^ - 111| ist, die
1)Auf eine Zerlegung 1. Art und eine 2. Art dieses einfachsten Typus ist
jede Zerlegung, die dem SCHMIDT sehen Zerlegungsbegriff genügt, zurückzuführen;
cf. K. F. Schmidt: 1. c. p. 94.
Es ist: — 11) ^[(ckijj)'1] — (St1 H) fp^c-1) ti2
= (St U) ^[(ckj k2)-U = (® U) ^[{(ckUkJ-i]
= (St - H) ^[(ck.PU 12 = (« U) Ir(c-l) 11 12-
(4) Die Zuordnung: f_1 —> f induziert c_1 in || f A 11||.
Es wird nämlich der Klasse:
(St - 11) f“1 = (St - 11) f0[k-i] von || St / St - 111| die Klasse:
(St -II) f = (St - 11) la-i(f) loKek)"1] — (St’ - 11) f[0(k-l)](c-l)
zugeordnet.
Aus (3) und (4) folgt aber die Notwendigkeit der Bedingung des
Zusatzes.
B. Werde c_1 durch den Isomorphismus: 9H“1-> 9cf von St / 9t
induziert; dann ist:
(St-II) ^[(ck)"1] lopck)"1] = (Sl 11) [11 l'Hk-1) lo^k’1) l21](c'i)
= (st-ii) [fi i, 1-1 (f0 r1)-1 = (St-11) u-1) 13,
wo ti £ St - 11 für i = 1, 2, 3 ist.
((St - II) f^(c-i) bedeutet ja nur, daß der obige Isomorphismus das
Element 91 fV(C-i) von $/9l gewissen Elementen aus (Ä’-II) zuordnet.)
Satz 8: Dann und nur dann ist M* hinsichtlich 9)1 und U* hinsicht-
lich 11 transitiv, wenn
1. C eine Gruppe ist,
2. für jedes f £ $ aus c e C auch c(I) £ C folgt, wo c(f) gemäß Be-
dingung 1 des Satz 7 zu bestimmen,
3. die Klassen ähnlicher Klassen gleichmächtig sind.
Die Notwendigkeit der Bedingungen 1.-3. folgt aus Satz 6 und
Satz 7, das Hinreichen eben daraus, wenn der folgende Hilfssatz
bewiesen ist:
Wenn M* hinsichtlich Ä’ und 11 transitiv ist, so ist M* auch hinsichtlich
9)t transitiv.
Sei m £ 9Ji, m = tu mit f £ St, u £ 11; sei a e M* derart, daß die
Identität in t, b £ M* derart, daß sie in u übergeht; dann geht sie bei
ab in m über.
Zusatz ! : Die Bedingungen 1 und 2 des Satz 8 sind z. B. erfüllt
1. wenn C = A ist1},
2. wenn C die Gruppe aller eineindeutigen Abbildungen von |j St/St-111
auf sich ist, bei denen St - 11 fest bleibt,
3. wenn C eine Gruppe von Isomorphismen von || ^ / ^ - 111| ist, die
1)Auf eine Zerlegung 1. Art und eine 2. Art dieses einfachsten Typus ist
jede Zerlegung, die dem SCHMIDT sehen Zerlegungsbegriff genügt, zurückzuführen;
cf. K. F. Schmidt: 1. c. p. 94.