DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43547#0027
Über die Zerlegungen einer'Mischgruppe nach einer Untermischgruppe. 27
Die Gruppe U* enthält nämlich die kongruenten Abbildungen von
Ux rücksichtlich der Zerlegung 2. Art von 11 j nach 11 U1; die durch die
vorgelegte Zerlegung von iOc nach II induziert wird.
Satz 9: Dann und nur dann ist eine Zerlegung gemäß (Z) realisier-
bar, wenn sie den Bedingungen 1—3 des Satzes 8 genügt1), und wenn
4a. entweder eine Klasse ähnlicher Klassen wenigstens drei Klassen
enthält
4b. oder St 11 einen nicht nur die Identität enthaltenden Normalteiler
sJc von St umfaßt.
A. Daß die Bedingungen 1—3 und 4 a hinreichen, folgt aus Satz 8,
dem Zusatz 3, 1 zu Satz 8 und aus Satz 5 des § 2 von Mg.
Daß die Bedingungen 1—3 und 4 b hinreichen, folgt aus Satz 8
und dem Zusatz zu Satz 2 des § 2.
B. Es gebe nur eine zu Ä' ähnliche Klasse K 4 St; dann folgt aus
Satz 5 des § 2 von Mg und aus Zusatz 3,2 des Satz 5 die Notwendigkeit
von 4 b, da K in sich übergehen muß, wenn Sl invariant bleibt. Gibt es
keine zu St ähnliche Klasse 4 Ä', so folgt die Notwendigkeit von 4 b
wieder aus Zusatz 3, 2 des Satz 8 und Satz 5 des § 2 von Mg, da
dann ja bei Invarianthaltung von ft1 jede Klasse nach St in sich über-
gehen muß.
Die Notwendigkeit der Bedingungen 1—3 folgt aus Satz 8.
Zusatz: Es gibt dann und nur dann wenigstens eine gruppentheore-
tische Zerlegung von nach 11, wenn
a. ) entweder die Zahl der Elemente von || / St || 4 2 ist
b. ) oder St U einen nicht nur die Identität enthaltenden Normalteiler
von ® umfaßt.
Dies folgt aus Satz 9 und dem Zusatz 1,1 des Satz 8.
Satz 10: Dann und nur dann gibt es höchstens eine realisierbare
Zerlegung von 3K nach II, wenn
1. nur C = A den Bedingungen des Satzes 8 genügt,
2. St' ll Normalteiler von $ ist.
Denn dann und nur dann ist für beliebiges cp e K 11 (i = 1, 2)
(St 11) ax = (Jft' 11) fj, a2, wenn ® 11 Normalteiler von St ist.
B Ein unter anderen Gesichtspunkten gewonnenes, einfacheres, aber den
Bedingungen 1 2, gleichwertiges Kriterium wird im Satz 5 des §7, Abschnitt II
angegeben.
Die Gruppe U* enthält nämlich die kongruenten Abbildungen von
Ux rücksichtlich der Zerlegung 2. Art von 11 j nach 11 U1; die durch die
vorgelegte Zerlegung von iOc nach II induziert wird.
Satz 9: Dann und nur dann ist eine Zerlegung gemäß (Z) realisier-
bar, wenn sie den Bedingungen 1—3 des Satzes 8 genügt1), und wenn
4a. entweder eine Klasse ähnlicher Klassen wenigstens drei Klassen
enthält
4b. oder St 11 einen nicht nur die Identität enthaltenden Normalteiler
sJc von St umfaßt.
A. Daß die Bedingungen 1—3 und 4 a hinreichen, folgt aus Satz 8,
dem Zusatz 3, 1 zu Satz 8 und aus Satz 5 des § 2 von Mg.
Daß die Bedingungen 1—3 und 4 b hinreichen, folgt aus Satz 8
und dem Zusatz zu Satz 2 des § 2.
B. Es gebe nur eine zu Ä' ähnliche Klasse K 4 St; dann folgt aus
Satz 5 des § 2 von Mg und aus Zusatz 3,2 des Satz 5 die Notwendigkeit
von 4 b, da K in sich übergehen muß, wenn Sl invariant bleibt. Gibt es
keine zu St ähnliche Klasse 4 Ä', so folgt die Notwendigkeit von 4 b
wieder aus Zusatz 3, 2 des Satz 8 und Satz 5 des § 2 von Mg, da
dann ja bei Invarianthaltung von ft1 jede Klasse nach St in sich über-
gehen muß.
Die Notwendigkeit der Bedingungen 1—3 folgt aus Satz 8.
Zusatz: Es gibt dann und nur dann wenigstens eine gruppentheore-
tische Zerlegung von nach 11, wenn
a. ) entweder die Zahl der Elemente von || / St || 4 2 ist
b. ) oder St U einen nicht nur die Identität enthaltenden Normalteiler
von ® umfaßt.
Dies folgt aus Satz 9 und dem Zusatz 1,1 des Satz 8.
Satz 10: Dann und nur dann gibt es höchstens eine realisierbare
Zerlegung von 3K nach II, wenn
1. nur C = A den Bedingungen des Satzes 8 genügt,
2. St' ll Normalteiler von $ ist.
Denn dann und nur dann ist für beliebiges cp e K 11 (i = 1, 2)
(St 11) ax = (Jft' 11) fj, a2, wenn ® 11 Normalteiler von St ist.
B Ein unter anderen Gesichtspunkten gewonnenes, einfacheres, aber den
Bedingungen 1 2, gleichwertiges Kriterium wird im Satz 5 des §7, Abschnitt II
angegeben.