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https://doi.org/10.11588/diglit.43547#0029
Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer üntermischgruppe. 29
Wir werden deshalb wesentlich (K) untersuchen, auch da sich (K) als das
für die Anwendungen in der Galoisschen Theorie Natürlichere erweist1); gelegentlich
werden wir die Ergebnisse mit (E) vergleichen. —
Satz I : Eine Klasse Y der vorliegenden Zerlegung gehört dann und
nur dann zum Kern von || A / B ||, wenn Y bei allen Abbildungen aus
B in sich übergeht.
Der Satz ist ein Analogon des Satz 5 des § 2 von Mg. — Sei Y die
Y entsprechende Klasse von || A / B | d. h. alle und nur die Elemente
aus Y führen II in Y über.
A. Sei y e Y und b s B beliebig ; dann führen alle b e B die »Klas-
sen ll und K je in sich über; notwendig führt y b y_1 wieder ll in sich
über, d. h. y b y-1 e B.
B. Ist y b = bx y mit bj e B für alle b s B, so führen bx y und also
auch alle y b die Klasse II in Y über; also führen alle b e B auch Y in
sich über, wenn y e N (B < A).
I. Die Zerlegungen I.Art: 3t^ii = $.
Satz 2: 7. Ist die Zahl der von II verschiedenen Klassen nach ll
höchstens eins, so ist B Normalteiler von A.
2. Ist die Zahl der von U verschiedenen Klassen nach ll größer als
eins, so bildet ein Teilsystem llx der Klassen nach ll dann und nur dann
für eine Realisierung den Kern, wenn es möglich ist, die nicht in 11 x auf-
tretenden Klassen nach ll in zu 11 x gleichmächtige, untereinander fremde
Klassen einzuteilen.
Speziell für M* besteht der Kem nur aus 11.
Folgt aus Satz 1 und Zusatz zu Satz 1 des § I.
Zusatz: Eine Komposition nach (E) würde als Kern nur ll d. h. die Identität
liefern.
TI. Die Zerlegungen 2. Art.
Sei im folgenden ll eine Üntermischgruppe 2. Art von äR, d. h. alle
Klassen nach Ä1 inzidieren mit II.
Satz 3: Zum Kern der Quotientenmischgruppe || A / B \ gehören
nur solche Klassen nach ll, die mit dem, Kern von || / M.'II !| in-
zidieren.
Denn bei der Gesamtheit der Abbildungen:
St Yv = ll) f,, —> ll) fv Iu mit fu e St ll
bleiben alle und nur die Klassen des Kerns von || St / St ll || invariant
(cf. Satz 1!).
‘) Vgl. Anm.2) S. 4.
Wir werden deshalb wesentlich (K) untersuchen, auch da sich (K) als das
für die Anwendungen in der Galoisschen Theorie Natürlichere erweist1); gelegentlich
werden wir die Ergebnisse mit (E) vergleichen. —
Satz I : Eine Klasse Y der vorliegenden Zerlegung gehört dann und
nur dann zum Kern von || A / B ||, wenn Y bei allen Abbildungen aus
B in sich übergeht.
Der Satz ist ein Analogon des Satz 5 des § 2 von Mg. — Sei Y die
Y entsprechende Klasse von || A / B | d. h. alle und nur die Elemente
aus Y führen II in Y über.
A. Sei y e Y und b s B beliebig ; dann führen alle b e B die »Klas-
sen ll und K je in sich über; notwendig führt y b y_1 wieder ll in sich
über, d. h. y b y-1 e B.
B. Ist y b = bx y mit bj e B für alle b s B, so führen bx y und also
auch alle y b die Klasse II in Y über; also führen alle b e B auch Y in
sich über, wenn y e N (B < A).
I. Die Zerlegungen I.Art: 3t^ii = $.
Satz 2: 7. Ist die Zahl der von II verschiedenen Klassen nach ll
höchstens eins, so ist B Normalteiler von A.
2. Ist die Zahl der von U verschiedenen Klassen nach ll größer als
eins, so bildet ein Teilsystem llx der Klassen nach ll dann und nur dann
für eine Realisierung den Kern, wenn es möglich ist, die nicht in 11 x auf-
tretenden Klassen nach ll in zu 11 x gleichmächtige, untereinander fremde
Klassen einzuteilen.
Speziell für M* besteht der Kem nur aus 11.
Folgt aus Satz 1 und Zusatz zu Satz 1 des § I.
Zusatz: Eine Komposition nach (E) würde als Kern nur ll d. h. die Identität
liefern.
TI. Die Zerlegungen 2. Art.
Sei im folgenden ll eine Üntermischgruppe 2. Art von äR, d. h. alle
Klassen nach Ä1 inzidieren mit II.
Satz 3: Zum Kern der Quotientenmischgruppe || A / B \ gehören
nur solche Klassen nach ll, die mit dem, Kern von || / M.'II !| in-
zidieren.
Denn bei der Gesamtheit der Abbildungen:
St Yv = ll) f,, —> ll) fv Iu mit fu e St ll
bleiben alle und nur die Klassen des Kerns von || St / St ll || invariant
(cf. Satz 1!).
‘) Vgl. Anm.2) S. 4.