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https://doi.org/10.11588/diglit.43549#0003
Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen.
Die vorliegende Note beschäftigt sich mit abstrakten kommutativen
Ringen mit Einheitselement, in denen jede Idealteilerkette im Endlichen
abbricht. Die Hauptsätze der allgemeinen Idealtheorie1) sind, soweit
sie benötigt werden, in § 1 kurz zusammengestellt. Zweck der Unter-
suchung ist die Übertragung gewisser von den Polynomringen2) her
bekannter Sätze auf allgemeine Bereiche. Verstehen wir unter einer
Primidealvielfachenkette eine Kette p15 p2, p3> bei der das
Primideal pi+1 jeweils ein echtes Vielfaches des Primideals pi darstellt,
(i_ 1, 2 . . .), so gelten im Ring der Polynome in x1} x2, . . xn
mit Koeffizienten aus einem Körper V die Sätze:
1. Die Gliederzahl der mit einem festen vom Einheitsideal o ver-
schiedenen Primideal p beginnenden Primidealvielfachenketten ist
beschränkt.
2. Sind p und p' feste Primideale und ist dabei p ein von o ver-
schiedener echter Teiler von p', so besitzen die sämtlichen „geschlosse-
nen“ Primidealvielfachenketten p, p15 p2, , p', die nicht durch
Einschieben eines Mittelglieds vergrößert werden können, die gleiche
Glieder zahl.
3. Die Behauptungen 1 und 2 gelten auch dann, wenn das Anfangs-
primideal p das Einheitsideal darstellt.
In § 4 wird nun gezeigt, daß der Satz 1 für allgemeine Ringe des
im Einleitungssatze gekennzeichneten Typus zutrifft. Die Gültigkeit
1) Über allgemeine Idealtheorie vgl. die folgende Literatur:
1. E. NoETHER: Idealtheorie in Ringbereichen. Math. Annal. 83 (1921)
S. 23—66. Zitiert mit „N“.
2. H. GRELL: Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe. Math.
Annal. 97 (1926) S. 490—523. Zitiert mit „G“.
3. W. Krell : Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen
Bereichen. Math. Zeitschrift 28 (1928) S. 481 — 503. Zitiert mit „K“.
2) Zu den in der Note benutzten Sätzen über Polynomringe vgl.: B. L. V. D.
WAERDEN: Zur Nullstellentheorie der Polynomideale. Math. Annal. 96 (1926)
S. 183—208. Zitiert mit ,,v. d. W.“ Die in der Einleitung angeführten Sätze über
Primidealketten in Polynomringen können aus v. d. W. § 3 herausgelesen werden.
1*
Die vorliegende Note beschäftigt sich mit abstrakten kommutativen
Ringen mit Einheitselement, in denen jede Idealteilerkette im Endlichen
abbricht. Die Hauptsätze der allgemeinen Idealtheorie1) sind, soweit
sie benötigt werden, in § 1 kurz zusammengestellt. Zweck der Unter-
suchung ist die Übertragung gewisser von den Polynomringen2) her
bekannter Sätze auf allgemeine Bereiche. Verstehen wir unter einer
Primidealvielfachenkette eine Kette p15 p2, p3> bei der das
Primideal pi+1 jeweils ein echtes Vielfaches des Primideals pi darstellt,
(i_ 1, 2 . . .), so gelten im Ring der Polynome in x1} x2, . . xn
mit Koeffizienten aus einem Körper V die Sätze:
1. Die Gliederzahl der mit einem festen vom Einheitsideal o ver-
schiedenen Primideal p beginnenden Primidealvielfachenketten ist
beschränkt.
2. Sind p und p' feste Primideale und ist dabei p ein von o ver-
schiedener echter Teiler von p', so besitzen die sämtlichen „geschlosse-
nen“ Primidealvielfachenketten p, p15 p2, , p', die nicht durch
Einschieben eines Mittelglieds vergrößert werden können, die gleiche
Glieder zahl.
3. Die Behauptungen 1 und 2 gelten auch dann, wenn das Anfangs-
primideal p das Einheitsideal darstellt.
In § 4 wird nun gezeigt, daß der Satz 1 für allgemeine Ringe des
im Einleitungssatze gekennzeichneten Typus zutrifft. Die Gültigkeit
1) Über allgemeine Idealtheorie vgl. die folgende Literatur:
1. E. NoETHER: Idealtheorie in Ringbereichen. Math. Annal. 83 (1921)
S. 23—66. Zitiert mit „N“.
2. H. GRELL: Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe. Math.
Annal. 97 (1926) S. 490—523. Zitiert mit „G“.
3. W. Krell : Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen
Bereichen. Math. Zeitschrift 28 (1928) S. 481 — 503. Zitiert mit „K“.
2) Zu den in der Note benutzten Sätzen über Polynomringe vgl.: B. L. V. D.
WAERDEN: Zur Nullstellentheorie der Polynomideale. Math. Annal. 96 (1926)
S. 183—208. Zitiert mit ,,v. d. W.“ Die in der Einleitung angeführten Sätze über
Primidealketten in Polynomringen können aus v. d. W. § 3 herausgelesen werden.
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