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https://doi.org/10.11588/diglit.43549#0008
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Wolfgang Krull:
Kroneckersche Symbol bedeutet. Die Determinante P == | cpx — ß • öiK |
genügt der Kongruenz ö ~ ßs (fl) und ist daher ebenso wie ß zu et
und damit auch zu n prim. Aus (1) folgt aber (<5) • in = (<5) • (m1?
m2, . . . ., ms) = n, es muß mithin in = n sein.
Die rte Potenz eines Primideals p ist durch p, aber durch kein echtes
Primidealvielfaches von p teilbar. pr besitzt daher eine zu p gehörige
isolierte Primärkomponente, die als „symbolische rte Potenz von p“
oder mit p(r) bezeichnet werden soll. Ist q ein bei. zu p gehöriges Primär-
ideal und ist pr > q, so ist auch p(r) j> q; das kleinste gemeinschaftliche
Vielfache der sämtlichen symbolischen Potenzen von p ist daher gleich
dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen aller zu p gehöriger Primär-
ideale.
Satz 2. In einem primären Ring ist das kleinste gemein-
schaftliche Vielfache m aller symbolischen Potenzen von p
gleich dem Nullideal.
Wir fassen in je einer Darstellung von in und m • p durch Primär-
ideale diejenigen Komponenten zusammen, deren zugehörige Prim-
ideale echte Vielfache von p sind und ebenso diejenigen Komponenten,
deren zugehörige Primideale durch p unteilbar sind; wir kommen so zu
zwei Gleichungen in = ax r' qx cx; in ' p = 02 c2> bei denen zu
cp nur echte Primidealvielfache von p, zu p nur durch p unteilbare
Primideale gehören, während die q^ zu p gehörige Primärideale bedeuten
— 1, 2). (Eventuell sind in einer oder beiden Gleichungen ein oder
zwei Komponenten durch das Einheitsideal zu ersetzen). Nach § 1,
Hilfssatz c) ist: ai : (qx cx) = cp; cp : p = cp, p : c« = p (p x = 1, 2).
Andrerseits haben wir cp • (q2 c2) ’ p in ' p > a2 ' (Qi^ ci) >
in > cp, daraus folgt cp = a2. Nach Definition ist ferner m durch jedes
zu p gehörige Primärideal, im besonderen auch durch q2 teilbar. Es
wird daher in • c2 (n2 q2) ‘ c2>a2 q2 c2 = in ’ p; nr (c2 + p) —
m • c2 + m • p = in • p. In der letzteren Gleichung ist aber c2 + p zu
p prim. Wir können daher Satz 1 anwenden und erhalten m == n, wie
behauptet.
Mit Hilfe des Begriffs des isolierten Komponentenideals kann man
Satz 1 und Satz 2 auf bei. Ringe übertragen. Es ergibt sich:
Satz 3. Zu gegebenem in und ci gibt es dann und nur dann
ein den Gleichungen in • a = m • b; a : b = a genügendes 6, wenn
in teilbar ist durch dasjenige isolierte Komponentenideal
des Nullideals, zu dem alle und nur die Primideale des Null-
ideals gehören, die zu a nicht prim sind.
Wolfgang Krull:
Kroneckersche Symbol bedeutet. Die Determinante P == | cpx — ß • öiK |
genügt der Kongruenz ö ~ ßs (fl) und ist daher ebenso wie ß zu et
und damit auch zu n prim. Aus (1) folgt aber (<5) • in = (<5) • (m1?
m2, . . . ., ms) = n, es muß mithin in = n sein.
Die rte Potenz eines Primideals p ist durch p, aber durch kein echtes
Primidealvielfaches von p teilbar. pr besitzt daher eine zu p gehörige
isolierte Primärkomponente, die als „symbolische rte Potenz von p“
oder mit p(r) bezeichnet werden soll. Ist q ein bei. zu p gehöriges Primär-
ideal und ist pr > q, so ist auch p(r) j> q; das kleinste gemeinschaftliche
Vielfache der sämtlichen symbolischen Potenzen von p ist daher gleich
dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen aller zu p gehöriger Primär-
ideale.
Satz 2. In einem primären Ring ist das kleinste gemein-
schaftliche Vielfache m aller symbolischen Potenzen von p
gleich dem Nullideal.
Wir fassen in je einer Darstellung von in und m • p durch Primär-
ideale diejenigen Komponenten zusammen, deren zugehörige Prim-
ideale echte Vielfache von p sind und ebenso diejenigen Komponenten,
deren zugehörige Primideale durch p unteilbar sind; wir kommen so zu
zwei Gleichungen in = ax r' qx cx; in ' p = 02 c2> bei denen zu
cp nur echte Primidealvielfache von p, zu p nur durch p unteilbare
Primideale gehören, während die q^ zu p gehörige Primärideale bedeuten
— 1, 2). (Eventuell sind in einer oder beiden Gleichungen ein oder
zwei Komponenten durch das Einheitsideal zu ersetzen). Nach § 1,
Hilfssatz c) ist: ai : (qx cx) = cp; cp : p = cp, p : c« = p (p x = 1, 2).
Andrerseits haben wir cp • (q2 c2) ’ p in ' p > a2 ' (Qi^ ci) >
in > cp, daraus folgt cp = a2. Nach Definition ist ferner m durch jedes
zu p gehörige Primärideal, im besonderen auch durch q2 teilbar. Es
wird daher in • c2 (n2 q2) ‘ c2>a2 q2 c2 = in ’ p; nr (c2 + p) —
m • c2 + m • p = in • p. In der letzteren Gleichung ist aber c2 + p zu
p prim. Wir können daher Satz 1 anwenden und erhalten m == n, wie
behauptet.
Mit Hilfe des Begriffs des isolierten Komponentenideals kann man
Satz 1 und Satz 2 auf bei. Ringe übertragen. Es ergibt sich:
Satz 3. Zu gegebenem in und ci gibt es dann und nur dann
ein den Gleichungen in • a = m • b; a : b = a genügendes 6, wenn
in teilbar ist durch dasjenige isolierte Komponentenideal
des Nullideals, zu dem alle und nur die Primideale des Null-
ideals gehören, die zu a nicht prim sind.