Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die Sätze von Lie und Gambier über Kurven eines Linienkomplexes. 5
hat längs g0 eine „Kegelkrümmung“ z, das ist die Krümmung der
Spur des Kegels auf der Einheitskugel im Schnittpunkt dieser Kugel
mit g0, und man findet sofort
an
V
erhält also die Gambier sehe Formel:
111
- —; — — x - • —
Q fo f'
Die hier gewählte Art der Begründung ist in andern Fällen oft
mancher Kritik ausgesetzt worden, worauf nicht eingegangen werden
soll. Jedenfalls ist sie am kürzesten und zwingt dazu, durch Deutung
geometrisch erfaßt zu werden.

§ 2. Zweiter Beweis.

Es seien a, ß, y die Richtungscosinus der Tangente, l, m, n die der
Hauptnormale, 2, /z, v die der Binormale, so daß durch
dx, da l dl a 2 dl l
ds ’ ds r’ ds r q ’ ds q
die Serret -Frenet sehen Formeln angedeutet sind.
Die Komplexgleichung ist
1) /*(«; ß, 7> yy — zß, za — xy, xß — ya) = 0
und wird homogen von nullter Ordnung in et, ß, y und x, y, z. Be-
zeichnet man die partiellen Differentialquotienten nach den sechs homo-
genen Linienkoordinaten in der angegebenen Folge durch die Fußmarken
1 bis 6, dagegen die durch die Form der letzten drei Linienkoordinaten
beeinflußten Differentiationen nach a, ß, y in üblicher Weise, so ist
2) ^6’
— A 4- # A — ^A,
A -\-yii —
und wegen der Homogenität
3) 2“^=°’ 2^=°’

Aus (1) erhält man dann durch Differentiation nach s
A +A + A + A (yn — zm) + f5 (zl — xm) + fn (xm — yn) = 0
oder

4)2 4«=°
und daher
5-1 X-„.-v = Sl-
b) X.y,.v- da- dß-dy-