Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Otto Volk:

Im folgenden soll nun versucht werden, systematisch die Frage
nach Flächen mit geodätischen Dreiecksnetzen der Behandlung zugäng-
lich zu machen. Den Ausgangspunkt bildet die Form des Bogen-
elementes :
ds2 = du2 + 2 ff C cos d dudv ff- C'2 dv2,
wo ist:
ff2 = 2kff C2 = 2ff2
U- V
und d den Winkel der Parameterkurven u, v darstellt. Die Bedingung
dafür, daß die Parameterkurven u, v geodätische Linien sind, führt
auf eine einfache Laplacesche Gleichung, die sich z. B. im Falle der
Flächen konstanter Krümmung unmittelbar integrieren läßt und die
Möglichkeit gibt, Flächen zu finden, auf denen zwei Scharen von geo-
dätischen Linien mit vorgeschriebenem Winkel existieren. Führt man
noch die Dreiecksnetzbedingung ein, so kommt man schließlich auf
zwei partielle Differentialgleichungen erster Ordnung für £ = cos d.
Der Fall, daß die Integrabilitätsbedingung identisch erfüllt ist, läßt sich
vollständig durchführen; er führt auf Liouvillesche Flächen. Dagegen
scheint es aussichtslos zu sein, den Fall, daß die Integrabilitätsbedingung
nicht identisch erfüllt ist, allgemein erledigen zu können. Indes kann
man leicht durch spezielle Annahmen zu weiteren Klassen von Flächen
mit geodätischen Dreiecksnetzen gelangen.

§1-
Geodätische Linien als Parameterkurven; die charakteristische
Laplacesche Gleichung.

Die Bedingung dafür, daß die Parameterkurven u, v geodätische
Linien sind, ist:
Cu — Av cos d ff- A sin ddv= o,
Av — Cu cos d' + C sin # du = o.


Setzt man:
(2)

C= <Z>„ A =

cos d’

so ist die erste Gleichung (1) identisch erfüllt; die zweite Gleichung (1)
liefert für & die LAPLACESche Gleichung:
(3) ^uv+~.—-ä d>M+cotg^-dM o;
K ' sm d cos d

das Bogenelement hat dann die Form:
(4) ds2 = d <Z>2 ff- ^2 d 0>2 du2.