Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Flächen mit geodätischen Dreiecksnetzen.

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Die Gleichung (3) kann man nun leicht integrieren für alle Flächen
mit konstantem Krümmungsmaße. Für die abwickelbaren Flächen ist
bekanntlich:
(5) #=U+V,
wo ü, V Funktionen nur von zt bzw. v darstellen. Da eine Invariante
von (3) für die Annahme (5) verschwindet, so kann man (3) so
schreiben:
(6) ~(^w+cotg^^M0) + -^^^r(^M + cotg^ ^^=0’

durch Integration findet man hieraus:

(7)

sin $ + cos & du & = Ui cos #,

(8)
wo
das


üv neue willkürliche Funktionen von u bzw. v bedeuten. Ist
Krümmungsmaß K I o, so hat man:

(9)
oder nach (2):
(10)

V
A C sin

&uv = Ktg$&u$v.

Ersetzt man in (3) (I>V durch den aus (10) sich ergebenden Wert, so
ergibt sich für &u die Gleichung:

oder:
(11)



In analoger Weise findet man:

(12)

(pv=—.= --
y K sin ii


Dabei bedeuten Ulf V1 willkürliche Funktionen von u bzw. v. Man
überzeugt sich leicht, daß bei Gültigkeit von (10) die Integrabilitäts-
bedingung der Gleichungen (11) und (12) für beliebige iden¬
tisch erfüllt ist.
Die Gleichungen (10)—(12) bestimmen zusammen das Bogen-
element der Flächen konstanter Krümmung mit geodätischen Linien
als Parameterkurven; sie gestatten insbesondere, auf diesen Flächen
geodätische Netze mit vorgeschriebenem Winkel zu bestimmen; auch
erweisen sie sich von Vorteil bei der Untersuchung, ob Flächen mit
gegebenem Bogenelement konstantes Krümmungsmaß haben oder nicht.