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https://doi.org/10.11588/diglit.43584#0003
Über Eulers Dreieckssatz in der absoluten Geometrie.
Die interessante Lehre von den merkwürdigen Punkten des Drei-
ecks in der absoluten und der hyperbolischen Geometrie ist noch keines-
wegs abgeschlossen. In meinem Buch über Nichteuklidische Geometrie
bin ich etwas näher darauf eingegangen als es sonst wohl geschehen
mag1) und habe dabei (S. 112) ohne Beweis kurz erwähnt, daß in der
hyperbolischen (und damit auch in der absoluten) Geometrie der be-
kannte Euler sehe Satz der Euklidischen Dreiecksgeometrie nicht gilt,
demzufolge in jedem Dreieck der Höhenschnittpunkt H, der Mittelpunkt
M des Umkreises und der Schnittpunkt S der Mittellinien in einer
Geraden liegen, der Euler sehen Geraden. Da mich Herr H. Mohrmann
darauf hinweist, daß es im Gegensätze zu dieser meiner Äußerung
eine Ableitung des Euler sehen Satzes für die absolute Geometrie gibt2),
ist wohl eine genauere Untersuchung darüber gerechtfertigt, ob und in
welchem Bereiche der absoluten Geometrie Eulers Satz gilt.3)
Im folgenden wird zunächst an einem einfachen Beispiele gezeigt,
daß es hyperbolische Dreiecke gibt, welche dem Euler sehen Satze
widersprechen. Anschließend wird festgestellt, für welche Dreiecke
der Satz in der hyperbolischen Geometrie gilt. Es gelingt dann, Eulers
Satz in zwei Teile zu zerspalten, deren erster der absoluten Geometrie
angehört, während der zweite nur in der Euklidischen Geometrie richtig
ist. Die Hilfsmittel sind anfangs elementargeometrisch, später wird
das in N. G. vielfach verwendete „Prinzip der speziellen Lage“ heran-
gezogen.
In der Euklidischen Geometrie sind S, M, S immer eigentliche
Punkte, in der hyperbolischen H und AZ nicht notwendig; daher be-
schränken wir uns vorläufig auf die Betrachtung von Dreiecken mit
eigentlichen Punkten H, M. Später (Nr. 9, Schluß) werden wir uns
von dieser Voraussetzung frei machen.
J) Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Geometrie der Ebene. Samm-
lung Göschen Nr. 970, 1927, weiterhin zitiert als „N.G.“. Vor allem S. 106ff.
2) F. Schub, Grundlagen der Geometrie, 192 S., 1909. S. 90/91 findet sich
ein Beweis des EuLERschen Satzes. Die vorangestellten 13 Postulate sind, wie
man ohne weiteres erkennt, in der Euklidischen und der hyperbolischen, demnach
auch in der absoluten Geometrie erfüllt.
3) Der Zusatz Eulers, daß SM = % HS ist, beschäftigt uns hier nicht.
1*
Die interessante Lehre von den merkwürdigen Punkten des Drei-
ecks in der absoluten und der hyperbolischen Geometrie ist noch keines-
wegs abgeschlossen. In meinem Buch über Nichteuklidische Geometrie
bin ich etwas näher darauf eingegangen als es sonst wohl geschehen
mag1) und habe dabei (S. 112) ohne Beweis kurz erwähnt, daß in der
hyperbolischen (und damit auch in der absoluten) Geometrie der be-
kannte Euler sehe Satz der Euklidischen Dreiecksgeometrie nicht gilt,
demzufolge in jedem Dreieck der Höhenschnittpunkt H, der Mittelpunkt
M des Umkreises und der Schnittpunkt S der Mittellinien in einer
Geraden liegen, der Euler sehen Geraden. Da mich Herr H. Mohrmann
darauf hinweist, daß es im Gegensätze zu dieser meiner Äußerung
eine Ableitung des Euler sehen Satzes für die absolute Geometrie gibt2),
ist wohl eine genauere Untersuchung darüber gerechtfertigt, ob und in
welchem Bereiche der absoluten Geometrie Eulers Satz gilt.3)
Im folgenden wird zunächst an einem einfachen Beispiele gezeigt,
daß es hyperbolische Dreiecke gibt, welche dem Euler sehen Satze
widersprechen. Anschließend wird festgestellt, für welche Dreiecke
der Satz in der hyperbolischen Geometrie gilt. Es gelingt dann, Eulers
Satz in zwei Teile zu zerspalten, deren erster der absoluten Geometrie
angehört, während der zweite nur in der Euklidischen Geometrie richtig
ist. Die Hilfsmittel sind anfangs elementargeometrisch, später wird
das in N. G. vielfach verwendete „Prinzip der speziellen Lage“ heran-
gezogen.
In der Euklidischen Geometrie sind S, M, S immer eigentliche
Punkte, in der hyperbolischen H und AZ nicht notwendig; daher be-
schränken wir uns vorläufig auf die Betrachtung von Dreiecken mit
eigentlichen Punkten H, M. Später (Nr. 9, Schluß) werden wir uns
von dieser Voraussetzung frei machen.
J) Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Geometrie der Ebene. Samm-
lung Göschen Nr. 970, 1927, weiterhin zitiert als „N.G.“. Vor allem S. 106ff.
2) F. Schub, Grundlagen der Geometrie, 192 S., 1909. S. 90/91 findet sich
ein Beweis des EuLERschen Satzes. Die vorangestellten 13 Postulate sind, wie
man ohne weiteres erkennt, in der Euklidischen und der hyperbolischen, demnach
auch in der absoluten Geometrie erfüllt.
3) Der Zusatz Eulers, daß SM = % HS ist, beschäftigt uns hier nicht.
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