DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43587#0006
6
Arnold Scholz:
Pj = j; ■ (Sx-1) • Pv mod (Z J>0)
P2 = J2-(S2-1)-P2, „ (z'/p,)
Pi=O (lf,R,PJ
P2=0 (lf, St, PJ
mod (Z , P„_2)
(k Pm—1)
-f»i—1 — Em ■— 0
pm = 1=0
Insgesamt:
(Ä, 31) | (ft, lf, N(S)) = (®, lf P,) = (ft, lf N„,) = (1).
Es ergibt sich also: In einer Dispositionsfaktorgruppe 0 > 21 [> E
ist 2I={-4J@2: dann die Kommutatorgruppe (_4 eine Potenz),
wenn die Ordnung 23 von A ein Teiler von 21 ist. Das bedeutet, da
zu jedem Teiler von sTi eine Dispositionsfaktorgruppe gehört, daß
die Gruppentypen mit 21 als Kommutatorgruppe einen Maximaltyp
@o besitzen, unter dem sie alle als Faktorgruppen vertreten sind,
und in dem das erzeugende Element A die symbolische Ordnung:
21 = , S^'1' — l^Ty —1, N(S)) besitzt, wenn V die natürliche Ord¬
nung von A ist (und Ord ($,,) = Z«1“; Ord (T„) = Ord (Tv A) =
&o heiße die Ringgruppe vom Typ: ■■■ imm, ^n',
Die Ringgruppe ist eine Normalaufspaltung ihres Kommutatorfaktors
wegen ihrer Unabhängigkeit von dessen Basis.
Kehren wir wieder zur allgemeineren Gruppe: @ = {St, ... Tn;
{ Av ... Ar} ©g } mit C%h = P zurück. Wiederholt man genügend oft
den Darstellungsprozeß: A — A'$l A"^~ 1 ... A*^n \ indem man
die A\ A", . . . A* immer wieder entsprechend darstellt, so gelangt
man auch hier schließlich zu einer Darstellung: A = n A^ 21),
und es gilt allgemein = E für A < 21. — Umgekehrt folgt wieder
aus A^ = E für A < 21, daß jedes A eine Potenz, somit 21 die
Kommutatorgruppe ist. Hieraus kann man einen wichtigen Schluß
ziehen: Erhebt man eine Ringgruppe in eine relative Potenz (über dem
Kommutatorfaktor (5>/2X), so behält sie 0/21 als Kommutatorfaktor.
Für die Gruppen mit CKx = E gilt auch noch Ord (Tr) = Ord (T,, 21);
denn ist = JL < 21, so folgt aus Tv^ = Tv auch GU"
= E (ju, = 1, ... m) und aus der Darstellbarkeit vou 1 als Vielfach-
summe der /S„—1 (mod 21) dann A — E.
Arnold Scholz:
Pj = j; ■ (Sx-1) • Pv mod (Z J>0)
P2 = J2-(S2-1)-P2, „ (z'/p,)
Pi=O (lf,R,PJ
P2=0 (lf, St, PJ
mod (Z , P„_2)
(k Pm—1)
-f»i—1 — Em ■— 0
pm = 1=0
Insgesamt:
(Ä, 31) | (ft, lf, N(S)) = (®, lf P,) = (ft, lf N„,) = (1).
Es ergibt sich also: In einer Dispositionsfaktorgruppe 0 > 21 [> E
ist 2I={-4J@2: dann die Kommutatorgruppe (_4 eine Potenz),
wenn die Ordnung 23 von A ein Teiler von 21 ist. Das bedeutet, da
zu jedem Teiler von sTi eine Dispositionsfaktorgruppe gehört, daß
die Gruppentypen mit 21 als Kommutatorgruppe einen Maximaltyp
@o besitzen, unter dem sie alle als Faktorgruppen vertreten sind,
und in dem das erzeugende Element A die symbolische Ordnung:
21 = , S^'1' — l^Ty —1, N(S)) besitzt, wenn V die natürliche Ord¬
nung von A ist (und Ord ($,,) = Z«1“; Ord (T„) = Ord (Tv A) =
&o heiße die Ringgruppe vom Typ: ■■■ imm, ^n',
Die Ringgruppe ist eine Normalaufspaltung ihres Kommutatorfaktors
wegen ihrer Unabhängigkeit von dessen Basis.
Kehren wir wieder zur allgemeineren Gruppe: @ = {St, ... Tn;
{ Av ... Ar} ©g } mit C%h = P zurück. Wiederholt man genügend oft
den Darstellungsprozeß: A — A'$l A"^~ 1 ... A*^n \ indem man
die A\ A", . . . A* immer wieder entsprechend darstellt, so gelangt
man auch hier schließlich zu einer Darstellung: A = n A^ 21),
und es gilt allgemein = E für A < 21. — Umgekehrt folgt wieder
aus A^ = E für A < 21, daß jedes A eine Potenz, somit 21 die
Kommutatorgruppe ist. Hieraus kann man einen wichtigen Schluß
ziehen: Erhebt man eine Ringgruppe in eine relative Potenz (über dem
Kommutatorfaktor (5>/2X), so behält sie 0/21 als Kommutatorfaktor.
Für die Gruppen mit CKx = E gilt auch noch Ord (Tr) = Ord (T,, 21);
denn ist = JL < 21, so folgt aus Tv^ = Tv auch GU"
= E (ju, = 1, ... m) und aus der Darstellbarkeit vou 1 als Vielfach-
summe der /S„—1 (mod 21) dann A — E.