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https://doi.org/10.11588/diglit.43587#0008
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Arnold Scholz:
Kommutatorgruppe, die zugleich ein vollständiges Restsystem (mod
in 51 bildet, so daß man hat: 5l = 5lox6.
@ ist demnach über dem Kommutatorfaktor @/5I das relative Pro-
dukt der Gruppen @/@ und @/5l0; hierbei kann @/@ als Faktorgruppe
eines relativen Produkts von Ringgruppen angesehen werden, während
@(5I0 das absolute Produkt der Abelschen Gruppe @/$5I und der
Primärgruppe @/S5l0 ist (zugleich das direkte Produkt von <55I0/5l0
no g und X5l/5l0 ~ % @).
Die allgemeine zweistufige Gruppe @ erhält dann, als relatives
Produkt von zweistufigen normierten Gruppen @0 mit Kommutator-
gruppe von Primzahlpotenzordnung gebildet, folgende Gestalt: Sind
Z15 ... ln die in der Ordnung des Kommutatorfaktors @/5l aufgehenden
Primzahlen, so wird eine Basis von @/5l durch n Abteilungen von
mr, m2, . . . mn Elementen < @ 3 repräsentiert,
deren Ordnungen Potenzen von Z2, ... ln sind. Infolge der Nor-
miertheit der @0 ist mit vertauschbar, wenn rx I
während mit einen Kommutator: besitzen kann, dessen
Ordnung aber eine Potenz von Z;, ist. Die Gruppen: } g,,
= { CUe-, • • • 6» = ( (®r > n A”)“O bilden dann
den einen Teil der direkten Faktoren der Kommutatorgruppe 51, die
die zu den verschiedenen Primzahlen: ... ln gehörigen „Primär¬
faktoren“ des relativen Produkts @ über @151 bestimmen, zu denen
dann die aus den verschiedenen @o stammenden „Ringfaktoren“ hinzu-
treten.
Man kann danach @ aus Ring- und Primärgruppen in der Reihen-
folge aufbauen, daß mau zuerst alle Primärfaktoren von @, die im
Typus mit ... übereinstimmen (unter denen auch Abel-
sche Gruppen vorkommen können), aufstellt, diese dann absolut mit-
einander multipliziert und die so entstandene Gruppe über ihrem
Kommutatorfaktor mit den einzelnen Ringfaktoren von @ relativ mul-
tipliziert.
Für die Körperkonstruktion bedeutet das den Vorteil, daß man,
um einen Körper mit der Gruppe @ zu bekommen, zuerst alle nötigen
Primärkörper konstruieren kann und dabei noch freie Hand hat, jedes-
mal den maximalen Abelschen Unterkörper passend aus zyklischen Be-
standteilen zusammenzusetzen, während man dann die einzelnen Unter-
körper von Ringkörper- oder, allgemeiner, Dispositionskörperprodukten
als Klassenkörper auf den schon festliegenden maximalen Abelschen
Arnold Scholz:
Kommutatorgruppe, die zugleich ein vollständiges Restsystem (mod
in 51 bildet, so daß man hat: 5l = 5lox6.
@ ist demnach über dem Kommutatorfaktor @/5I das relative Pro-
dukt der Gruppen @/@ und @/5l0; hierbei kann @/@ als Faktorgruppe
eines relativen Produkts von Ringgruppen angesehen werden, während
@(5I0 das absolute Produkt der Abelschen Gruppe @/$5I und der
Primärgruppe @/S5l0 ist (zugleich das direkte Produkt von <55I0/5l0
no g und X5l/5l0 ~ % @).
Die allgemeine zweistufige Gruppe @ erhält dann, als relatives
Produkt von zweistufigen normierten Gruppen @0 mit Kommutator-
gruppe von Primzahlpotenzordnung gebildet, folgende Gestalt: Sind
Z15 ... ln die in der Ordnung des Kommutatorfaktors @/5l aufgehenden
Primzahlen, so wird eine Basis von @/5l durch n Abteilungen von
mr, m2, . . . mn Elementen < @ 3 repräsentiert,
deren Ordnungen Potenzen von Z2, ... ln sind. Infolge der Nor-
miertheit der @0 ist mit vertauschbar, wenn rx I
während mit einen Kommutator: besitzen kann, dessen
Ordnung aber eine Potenz von Z;, ist. Die Gruppen: } g,,
= { CUe-, • • • 6» = ( (®r > n A”)“O bilden dann
den einen Teil der direkten Faktoren der Kommutatorgruppe 51, die
die zu den verschiedenen Primzahlen: ... ln gehörigen „Primär¬
faktoren“ des relativen Produkts @ über @151 bestimmen, zu denen
dann die aus den verschiedenen @o stammenden „Ringfaktoren“ hinzu-
treten.
Man kann danach @ aus Ring- und Primärgruppen in der Reihen-
folge aufbauen, daß mau zuerst alle Primärfaktoren von @, die im
Typus mit ... übereinstimmen (unter denen auch Abel-
sche Gruppen vorkommen können), aufstellt, diese dann absolut mit-
einander multipliziert und die so entstandene Gruppe über ihrem
Kommutatorfaktor mit den einzelnen Ringfaktoren von @ relativ mul-
tipliziert.
Für die Körperkonstruktion bedeutet das den Vorteil, daß man,
um einen Körper mit der Gruppe @ zu bekommen, zuerst alle nötigen
Primärkörper konstruieren kann und dabei noch freie Hand hat, jedes-
mal den maximalen Abelschen Unterkörper passend aus zyklischen Be-
standteilen zusammenzusetzen, während man dann die einzelnen Unter-
körper von Ringkörper- oder, allgemeiner, Dispositionskörperprodukten
als Klassenkörper auf den schon festliegenden maximalen Abelschen