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https://doi.org/10.11588/diglit.43587#0012
12
Arnold Scholz:
von S'i,
Gestalt:
hinzu. (Es ist aber keine invariante Untergruppe der auf-
= S{ A~X‘
= Ö2 '
Ali.
,k -1
’ Si—1 ’
wenn Xz H — 0
Modulsatz (I, S. 336/37) ergibt, d. h. die Kongruenzen sind nach diesem
Satz gleichbedeutend.
Die Existenz einer Zweiggruppe für jeden Typ l^2; Z^1) ist
hiermit bewiesen. Daß sie als Untergruppe einer Dispositionsgruppe
auftritt, bedeutet natürlich noch nichts für das Körperkonstruktions-
problem bei vorgeschriebenem Grundkörper.
Geht man alle Idealteiler § von jJr durch und setzt A = E,
wenn II < so erhält man alle Gruppentypen: @ = X 31 über
dem Kommutatorfaktor: ®/3I, für die Ord (5i 31) = Ord (51)==?^;
Ord ($2 31) = Ord (Sz) = lh'2 und Ord (M) = Z^ ; E g k.
Betrachten wir nun den Fall: m > 2. Die Kommutatoren AUP
können hier schon nicht symbolisch voneinander unabhängig sein, d. h.
es kann nicht, sein: 31 = { A\ 2 } @ X { XL 13 } @ X . .. X {Denn
es gelten die Beziehungen:
SS>.Sx=(S/i AXX=SI^ E‘'
= SSX S;. Axl= S,A„;. = ( 4xi = gK Al-S/t AS;. A^
Vergleicht man die Endausdrücke beider Zeilen, so erhält man:
A^j = A.^1 A^,* , oder wenn man symmetriehalber noch ein-
1 $
führt: APJl = A~ und A^ = E, also allgemein: Sr = Sp AJIV
zwei solche Elemente und ordnet das Produkt nach Potenzen
y y y
S> A' 2, A' 1 2, so treten hierbei nur Kommutatoren der
Xi X2 F
gestellten Dispositionsgruppe,- denn es ist schon
nicht in ihr enthalten.) Setzt man nun; 5f = Si; S2 A'
A'" 1" 2 = A, so ist { Ä, $2 { A } s j, also die konstruierte Untergruppe
der Dispositionsgruppe, wirklich Zweiggruppe vom Typ (Z Z^2; z\
Es ist Ord (&) = ZÄ1; Ord (S2) = Z/i2; A = S2_1 s/1, da A’ ^2) 51
= S-2 A'^1^2 = S2 A' ^2 A'^1^2, und schließlich ist auch: 91^ -
/ ihi_ ilu-_ \
1 y die symbolische Ordnung von A = A,X1X'2;
denn es ist A^ = E, wenn Vi V2 H = 0 (l\ sj —1, sj — 1), also
p, Sz — 1^ oder H = 0 (31^), wie der
Arnold Scholz:
von S'i,
Gestalt:
hinzu. (Es ist aber keine invariante Untergruppe der auf-
= S{ A~X‘
= Ö2 '
Ali.
,k -1
’ Si—1 ’
wenn Xz H — 0
Modulsatz (I, S. 336/37) ergibt, d. h. die Kongruenzen sind nach diesem
Satz gleichbedeutend.
Die Existenz einer Zweiggruppe für jeden Typ l^2; Z^1) ist
hiermit bewiesen. Daß sie als Untergruppe einer Dispositionsgruppe
auftritt, bedeutet natürlich noch nichts für das Körperkonstruktions-
problem bei vorgeschriebenem Grundkörper.
Geht man alle Idealteiler § von jJr durch und setzt A = E,
wenn II < so erhält man alle Gruppentypen: @ = X 31 über
dem Kommutatorfaktor: ®/3I, für die Ord (5i 31) = Ord (51)==?^;
Ord ($2 31) = Ord (Sz) = lh'2 und Ord (M) = Z^ ; E g k.
Betrachten wir nun den Fall: m > 2. Die Kommutatoren AUP
können hier schon nicht symbolisch voneinander unabhängig sein, d. h.
es kann nicht, sein: 31 = { A\ 2 } @ X { XL 13 } @ X . .. X {Denn
es gelten die Beziehungen:
SS>.Sx=(S/i AXX=SI^ E‘'
= SSX S;. Axl= S,A„;. = ( 4xi = gK Al-S/t AS;. A^
Vergleicht man die Endausdrücke beider Zeilen, so erhält man:
A^j = A.^1 A^,* , oder wenn man symmetriehalber noch ein-
1 $
führt: APJl = A~ und A^ = E, also allgemein: Sr = Sp AJIV
zwei solche Elemente und ordnet das Produkt nach Potenzen
y y y
S> A' 2, A' 1 2, so treten hierbei nur Kommutatoren der
Xi X2 F
gestellten Dispositionsgruppe,- denn es ist schon
nicht in ihr enthalten.) Setzt man nun; 5f = Si; S2 A'
A'" 1" 2 = A, so ist { Ä, $2 { A } s j, also die konstruierte Untergruppe
der Dispositionsgruppe, wirklich Zweiggruppe vom Typ (Z Z^2; z\
Es ist Ord (&) = ZÄ1; Ord (S2) = Z/i2; A = S2_1 s/1, da A’ ^2) 51
= S-2 A'^1^2 = S2 A' ^2 A'^1^2, und schließlich ist auch: 91^ -
/ ihi_ ilu-_ \
1 y die symbolische Ordnung von A = A,X1X'2;
denn es ist A^ = E, wenn Vi V2 H = 0 (l\ sj —1, sj — 1), also
p, Sz — 1^ oder H = 0 (31^), wie der