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https://doi.org/10.11588/diglit.43587#0013
Reduktion der Konstruktion von Körpern usw.
13
X Xi X
(p = v), so hat man die „Dreiecksbeziehung“: A^* A^ = E
{x, X, f.c= 1, ... m). x)
Jetzt bleibt dann als größtmögliche Ausdehnung der Kommutator-
gruppe 31 die folgende:
1.
Jedes < v) hat eine symbolische Ordnung:
wenn Ord 31) — Ord ($u) — Z^“ ist und Z^ die für alle AßV gleich-
mäßig festgesetzte natürliche Ordnung.
H.
2. Es ist dann und nur dann II A..,,^v = E, wenn formal in den
Aav eine Darstellung gilt:
II = n A~x>- Jxle-
(Hierbei sind natürlich die Exponenten IIav nur nach den Moduln
Atfir' zu betrachten.)
Existiert eine Gruppe @ mit einer solchen Kommutatorgruppe 31
für jede Ordnungskombination: (Z^1, . . . Z^w; Z^), die wir dann 'Zweig-
gruppe vom Typ: (Z^1, . . . Z^m; Z^) nennen, so ist jede zweistufige
■Gruppe mit m erzeugenden Sa, Ord ($.,) = Z^ und Ord (A(W) —Z^r
(0 < k^v <g k), als Faktorgruppe dieser Zweiggruppe vertreten, so daß
es wirklich ausreicht, Kommutatorgruppen mit simultaner natürlicher
Ordnung der Auv unter die "ausgedehntesten’ zu zählen.
Daß es tatsächlich für jeden Typ: (Z^1, . . . l^m; Z^) eine Zweig-
gruppe gibt, zeigt man ähnlich wie vorher für den Fall m = 2:
Man bilde die relative (m —1)1® Potenz einer Dispositionsgruppe
vom Typ (Z^1; . . . Z^Hl; Z^) in der normierten Gestalt:
{ Si, . . . S'm; { A'12 } <s X { A13} @ x ... X { A'im} @ }. Wir definieren
noch: A’K^ = A[x 1 Aj;, zugleich also: Ayx = E; A'^ = 1 und
A'A A;'e A'ß% = E.
Jetzt nehme man von dem direkten Produkt der {A^,} @ die aus
allen z symbolisch erzeugte Untergruppe 3P und bilde das
System aller Elemente S' A' des obigen Dispositionsgruppenprodukts,
J) Vgl. 0. Schreier: Erweiterung von Gruppen II, Hambg. Sem.-Abli. 4
(1926)[S. 322; Ph. Furtwängler, 1. c. S. 22.
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X Xi X
(p = v), so hat man die „Dreiecksbeziehung“: A^* A^ = E
{x, X, f.c= 1, ... m). x)
Jetzt bleibt dann als größtmögliche Ausdehnung der Kommutator-
gruppe 31 die folgende:
1.
Jedes < v) hat eine symbolische Ordnung:
wenn Ord 31) — Ord ($u) — Z^“ ist und Z^ die für alle AßV gleich-
mäßig festgesetzte natürliche Ordnung.
H.
2. Es ist dann und nur dann II A..,,^v = E, wenn formal in den
Aav eine Darstellung gilt:
II = n A~x>- Jxle-
(Hierbei sind natürlich die Exponenten IIav nur nach den Moduln
Atfir' zu betrachten.)
Existiert eine Gruppe @ mit einer solchen Kommutatorgruppe 31
für jede Ordnungskombination: (Z^1, . . . Z^w; Z^), die wir dann 'Zweig-
gruppe vom Typ: (Z^1, . . . Z^m; Z^) nennen, so ist jede zweistufige
■Gruppe mit m erzeugenden Sa, Ord ($.,) = Z^ und Ord (A(W) —Z^r
(0 < k^v <g k), als Faktorgruppe dieser Zweiggruppe vertreten, so daß
es wirklich ausreicht, Kommutatorgruppen mit simultaner natürlicher
Ordnung der Auv unter die "ausgedehntesten’ zu zählen.
Daß es tatsächlich für jeden Typ: (Z^1, . . . l^m; Z^) eine Zweig-
gruppe gibt, zeigt man ähnlich wie vorher für den Fall m = 2:
Man bilde die relative (m —1)1® Potenz einer Dispositionsgruppe
vom Typ (Z^1; . . . Z^Hl; Z^) in der normierten Gestalt:
{ Si, . . . S'm; { A'12 } <s X { A13} @ x ... X { A'im} @ }. Wir definieren
noch: A’K^ = A[x 1 Aj;, zugleich also: Ayx = E; A'^ = 1 und
A'A A;'e A'ß% = E.
Jetzt nehme man von dem direkten Produkt der {A^,} @ die aus
allen z symbolisch erzeugte Untergruppe 3P und bilde das
System aller Elemente S' A' des obigen Dispositionsgruppenprodukts,
J) Vgl. 0. Schreier: Erweiterung von Gruppen II, Hambg. Sem.-Abli. 4
(1926)[S. 322; Ph. Furtwängler, 1. c. S. 22.