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https://doi.org/10.11588/diglit.43587#0015
Reduktion der Konstruktion von Körpern usw.
15
— A = 0 werden. Da nun für ()<m nur der letzte
(7/>\
Summand: Hgm X0X7n von Xm abhängt, so muß dieser selbst in TV
und daher HQm in liegen; also HQm = 0 für 1 < @ < m. Da
dann aber Jm nur noch den Summanden: Xr Xm behält, so muß
auch Him verschwinden. Ebenso schließt man jetzt sukzessive, daß
alle H,n OT_i, Hn, m_2 . . . verschwinden müssen, bis man schließlich
auf II12 = 0 kommt.
Mit der Zweiggruppe haben wir einen Maximaltyp für alle Primär-
gruppen gewonnen, der von entsprechenden Invarianten: l/11, . . . l^m;
l abhängt wie die Ringgruppe, aber nicht wie diese eine Normalauf-
spaltung ihres Kommutatorfaktors ist: ihre Bildung ist von dessen
Basis abhängig, weil nur für deren Repräsentanten S/f die Beziehung:
Ord (S/t) — Orcl ($,, 31) zu gelten braucht und diese auch wesentlich
den Maximalmodul bestimmen.
Schlußbemerkung: Durch Hervorhebung der Kommutator-
gruppe der zweistufigen Gruppe gelangten wir zu einer charakteristischen
Scheidung nach Ringgruppen und Zweiggruppen. Es besteht nun für
manche Primärgruppen trotzdem die Möglichkeit, sie als Faktorgruppen
einer Dispositionsgruppenpotenz darzustellen, wenn sie nämlich eine
Abelsche invariante Untergruppe enthalten, die die Kommutatorgruppe
echt enthält. Als solche gab ich am Schluß von I die Gruppen der
Ordnung l3 und l4 an. Häufig ist aber die Kommutatorgruppe $1 das
einzige Zwischenglied, derart daß (S) 51 und 51 Abelsche Gruppen sind;
z. B. bei allen Zweiggruppen mit Ausnahme des Falles, daß der Kom-
mutatorfaktor die Minimalordnung 4 (zwei Erzeugende) besitzt. — So-
dann sei noch bemerkt, daß die Darstellung einer Gruppe als Faktor-
gruppe einer Dispositionsgruppenpotenz keine notwendige Bedingung
für die Konstruierbarkeit eines zugehörigen Körpers mit Hilfe von
Dispositionskörpern ist. Es kann auch durch eine Kette solcher
Körperadjunktionen der verlangte Körper gewonnen werden, bei der
der gemeinsame Unterkörper der zu komponierenden Körper jedesmal
größer wird, so daß also keine relative Produktbildung über einem be-
stimmten Faktor stattfindet. Auf die eben erwähnte Weise kann man
z. B. für alle Primärgruppen, deren Kommutatorgruppe dem Zentrum
angehört und für die Ord (S,,) = Ord 51) erreichbar ist, Körper
konstruieren.
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— A = 0 werden. Da nun für ()<m nur der letzte
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Summand: Hgm X0X7n von Xm abhängt, so muß dieser selbst in TV
und daher HQm in liegen; also HQm = 0 für 1 < @ < m. Da
dann aber Jm nur noch den Summanden: Xr Xm behält, so muß
auch Him verschwinden. Ebenso schließt man jetzt sukzessive, daß
alle H,n OT_i, Hn, m_2 . . . verschwinden müssen, bis man schließlich
auf II12 = 0 kommt.
Mit der Zweiggruppe haben wir einen Maximaltyp für alle Primär-
gruppen gewonnen, der von entsprechenden Invarianten: l/11, . . . l^m;
l abhängt wie die Ringgruppe, aber nicht wie diese eine Normalauf-
spaltung ihres Kommutatorfaktors ist: ihre Bildung ist von dessen
Basis abhängig, weil nur für deren Repräsentanten S/f die Beziehung:
Ord (S/t) — Orcl ($,, 31) zu gelten braucht und diese auch wesentlich
den Maximalmodul bestimmen.
Schlußbemerkung: Durch Hervorhebung der Kommutator-
gruppe der zweistufigen Gruppe gelangten wir zu einer charakteristischen
Scheidung nach Ringgruppen und Zweiggruppen. Es besteht nun für
manche Primärgruppen trotzdem die Möglichkeit, sie als Faktorgruppen
einer Dispositionsgruppenpotenz darzustellen, wenn sie nämlich eine
Abelsche invariante Untergruppe enthalten, die die Kommutatorgruppe
echt enthält. Als solche gab ich am Schluß von I die Gruppen der
Ordnung l3 und l4 an. Häufig ist aber die Kommutatorgruppe $1 das
einzige Zwischenglied, derart daß (S) 51 und 51 Abelsche Gruppen sind;
z. B. bei allen Zweiggruppen mit Ausnahme des Falles, daß der Kom-
mutatorfaktor die Minimalordnung 4 (zwei Erzeugende) besitzt. — So-
dann sei noch bemerkt, daß die Darstellung einer Gruppe als Faktor-
gruppe einer Dispositionsgruppenpotenz keine notwendige Bedingung
für die Konstruierbarkeit eines zugehörigen Körpers mit Hilfe von
Dispositionskörpern ist. Es kann auch durch eine Kette solcher
Körperadjunktionen der verlangte Körper gewonnen werden, bei der
der gemeinsame Unterkörper der zu komponierenden Körper jedesmal
größer wird, so daß also keine relative Produktbildung über einem be-
stimmten Faktor stattfindet. Auf die eben erwähnte Weise kann man
z. B. für alle Primärgruppen, deren Kommutatorgruppe dem Zentrum
angehört und für die Ord (S,,) = Ord 51) erreichbar ist, Körper
konstruieren.