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https://doi.org/10.11588/diglit.43588#0003
Beziehungen zwischen den Grundbegriffen der Topologie.
Einleitung.
Seit F. Hausdorff x) die Topologie auf den Umgebungsbegriff grün-
dete, ist dieser Weg der übliche geworden und hat sich auch als zweck-
mäßig bewährt. Trotzdem ist er kein der zu begründenden Disziplin
adaequater Begriff, da bei topologischen Abbildungen Umgebungen im
allgemeinen nicht wieder in Umgebungen übergehen. Als topologisch
invarianter Begriff bietet sich nun hier der der offenen Menge dar,
weshalb ihn auch Tietze* 2) zur Begründung der* Topologie benutzte.
Dieser Begriff ist aber nur ein Belativbegriff; eine in einem Baume
offene Menge braucht in einem umfassenderen Baume nicht mehr offen
zu sein. Den gleichen Mangel hat der Begriff der abgeschlossenen
Menge, da jede abgeschlossene Menge Komplement einer offenen ist
und umgekehrt. Entsprechendes gilt vom Begriff der abgeschlossenen
Hülle und dem der Ableitung einer Menge.
Die beiden angezeigten Mängel haften nicht dem Begriff des
Häufungspunktes [kurz Hp] an, oder genauer: der Relation des „Hp
einer bestimmten Menge sein“. Die topologischen Abbildungen sind
Isomorphismen gegenüber dieser Belation; ist p Hp von Ti im Baume
VI, so gilt dasselbe für jeden T umfassenden Baum, sogar für jeden
in T enthaltenen Baum, wenn er nur p und Tt enthält.
Auf den Begriff des Hp die Topologie zu gründen, hat M. Frechet
unternommen, indem er den Begriff des L-Baumes [= Baum, in dem
ein Limesbegriff erklärt ist] aufstellte.3) Doch besteht bekanntlich
zwischen FiAchets und Hausdorffs Bäumen kein Zusammenhang; nicht
jeder topologische Baum ist ein L-Baum, nicht jeder L-Baum ein topo-
logischer.4) Überhaupt scheint der Begriff des Limes zur Begründung
der Topologie deshalb ungeeignet zu sein, weil bei ihm offenbar „un-
’) F. Hausdorff : Mengenlehre, 1. Aufl., Leipzig 1914, S. 213.
2) H. Tietze: Math. Ann., Bd. 88 (1923), S. 290—312.
3) M. Frechet: Rendiconti del circolo matemat. di Palermo, t. 22 (1906).
4) Vgl. z. B.: F. Hausdorff: Mengenlehre, 2. Aufl., Berlin 1927, S. 230.
1*
Einleitung.
Seit F. Hausdorff x) die Topologie auf den Umgebungsbegriff grün-
dete, ist dieser Weg der übliche geworden und hat sich auch als zweck-
mäßig bewährt. Trotzdem ist er kein der zu begründenden Disziplin
adaequater Begriff, da bei topologischen Abbildungen Umgebungen im
allgemeinen nicht wieder in Umgebungen übergehen. Als topologisch
invarianter Begriff bietet sich nun hier der der offenen Menge dar,
weshalb ihn auch Tietze* 2) zur Begründung der* Topologie benutzte.
Dieser Begriff ist aber nur ein Belativbegriff; eine in einem Baume
offene Menge braucht in einem umfassenderen Baume nicht mehr offen
zu sein. Den gleichen Mangel hat der Begriff der abgeschlossenen
Menge, da jede abgeschlossene Menge Komplement einer offenen ist
und umgekehrt. Entsprechendes gilt vom Begriff der abgeschlossenen
Hülle und dem der Ableitung einer Menge.
Die beiden angezeigten Mängel haften nicht dem Begriff des
Häufungspunktes [kurz Hp] an, oder genauer: der Relation des „Hp
einer bestimmten Menge sein“. Die topologischen Abbildungen sind
Isomorphismen gegenüber dieser Belation; ist p Hp von Ti im Baume
VI, so gilt dasselbe für jeden T umfassenden Baum, sogar für jeden
in T enthaltenen Baum, wenn er nur p und Tt enthält.
Auf den Begriff des Hp die Topologie zu gründen, hat M. Frechet
unternommen, indem er den Begriff des L-Baumes [= Baum, in dem
ein Limesbegriff erklärt ist] aufstellte.3) Doch besteht bekanntlich
zwischen FiAchets und Hausdorffs Bäumen kein Zusammenhang; nicht
jeder topologische Baum ist ein L-Baum, nicht jeder L-Baum ein topo-
logischer.4) Überhaupt scheint der Begriff des Limes zur Begründung
der Topologie deshalb ungeeignet zu sein, weil bei ihm offenbar „un-
’) F. Hausdorff : Mengenlehre, 1. Aufl., Leipzig 1914, S. 213.
2) H. Tietze: Math. Ann., Bd. 88 (1923), S. 290—312.
3) M. Frechet: Rendiconti del circolo matemat. di Palermo, t. 22 (1906).
4) Vgl. z. B.: F. Hausdorff: Mengenlehre, 2. Aufl., Berlin 1927, S. 230.
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