Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beziehungen zwischen den Grundbegriffen der Topologie.

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Abbildungen von 3ir Man hat nur bi auf ein an abzubilden. Mithin
kann (S 3) nicht erfüllt sein, wogegen (S 1), (S 2), (S 4) — (S 7) er-
füllt sind.

Ad (S 4): 3t = {bi> Pz, ■■■> • ••}•
In den Punkten bi mit i > 1 ist jede Abbildung stetig. Ist s< 3t
und enthält 33t unendlich viele Elemente von 3t nicht, so ist jede Ab-
bildung von 3)1 in bi stetig. Enthält aber 3)1 fast alle Elemente von
3t, so ist jede Abbildung von 3)1 in bi unstetig, bei der entweder das
Bild von bi von bi verschieden ist, oder, falls bi sich selbst zugeordnet
wird, die Bildmenge von 3)1 unendlich viele Elemente von 3t nicht
enthält.
Sei 3K1 = {p2o Pi}, ^2 = {p2i+i}? (7=1,2,...). Dann ist jede
Abbildung von 3H? in bi stetig.
Sei ax in 3)1! definiert:
«i(Pi) = Pi, «i(p2i) = p3i-
Sei a2 in 3)12 definiert:
a2(hsi + i) = p3i +1 > insbesondere ist also a2(h1)=hi-

Dann gibt es eine zusammengesetzte Abbildung a von 3)1 — 3Hi V3)l2,
die in 3)1; mit a, (3=1,2) übereinstimmt, und zwar ist

«(Pi) =

für 7 = 0 (mod 2)
h ? i .1. für 7=1 (mod 2).

Also sind die Bilder von bi mit geradem Index = 0 (mod 3), die mit
ungeradem Index = 1 (mod 3). Die bi, deren Index = 2 (mod 3) ist,
sind also keine Bilder. Also ist die Abbildung a von 331 = 3t in bi
unstetig. (S 4) gilt also nicht immer.
Dagegen sind (S 1) — (S 3), (S 5) — (S 7) erfüllt.
Ad (S 5): Um die Unabhängigkeit von (S 5) einzusehen, betrachte
man den Kaum, der in § 2 benutzt wurde, um die Unabhängigkeit von
(Hp 5) einzusehen, und erkläre die stetigen Abbildungen durch (4; 5)
des § 1.

Ad (S 6): 3i = {bi, b2, •••, Pn, • • •}•
Jede Abbildung einer beliebigen Teilmenge von 3t, die b« mit n>l
enthält, ist in bn stetig. Ebenso ist jede Abbildung, bei der bi auf
ein bn mit n J 2 abgebildet wird, in bi stetig. Eine Abbildung einer
Teilmenge 3)1 3t, bi£ 5)1, bei der b2 das Bild von bi ist, ist dann
und nur dann in bi unstetig, wenn 3)1 unendlich ist.
Sei Ui(bn) = p2n + i und a2(p2?l + i) = P2n- Dann sind und a2
in bi stetige Abbildungen, und zwar ist ar in ganz 3t definiert, während
ct2 auf der Bildmenge von 3t bei 04 definiert ist.