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https://doi.org/10.11588/diglit.43588#0019
Beziehungen zwischen den Grundbegriffen der Topologie.
19
a(p) Hp von so gilt das gleiche, da die Elemente von (p)
notwendig Hp von Mi (p) sein müssen [da sie nicht zu Mi (p) gehören,
können sie nicht unendlich oft gleich einem Element von Mi (p) sein].
Fall 2: a(p) = 7?(p) für unendlich viele Ire Hi. Nun ist aber ent-
weder 7i (p) Hp von A^(p) oder für unendlich viele m e Mi gilt h (p) = m (p).
Also gilt dasselbe auch für a (p).
In jedem Fall erfüllt also a(p) die Fundamentalbedingung rück-
sichtlich Mi(^~), d. h. aber a ist Hp von M, d. h. (Hp 5) ist wahr.
6. Sei IieG Hp von M<LG und sei a, b in Gr beliebig. Wir
haben zu zeigen, daß ahb Hp von aMb ist.1)
Sei a Mb = aM1 b V ... V a Mn b eine Zerlegung. Dann ist auch
M = MX V ... V Mn. Da h Hp von M ist, so gibt es ein so daß
für alle p e 9t entweder h (p) Hp von Aft-(p) ist, oder &(p) = m(p) für
unendlich viele msAZ,-.,
Mit p durchläuft a (p) alle Elemente von Df. Da weiter
a7zö(p) = ö(7z(a(p))) und a Mi b ^p) = b {Mi (a (p))) ist, so genügt es,
nachzuweisen, daß für alle pGJi entweder 7? (/? (p)) Hp von &(UfAp)) ist,
oder ö(7i(p)) — &(m(p)) für unendlich viele ms Mi gilt. Dies ist aber
der Fall, da dies für 7z, Mi gilt und b eine topologische Abbildung
von 9t ist.
Damit ist also gezeigt, daß G durch die so definierte Hp-Relation
zum topologischen Gruppenraum gemacht ist.
A n h a n g.
Topologische Räume mit vorgegebener, höchstens abzählbarer Gruppe.
Wir stellen uns in diesem Anhang die Aufgabe, nicht triviale Bei-
spiele von topologischen Räumen anzugeben, bei denen die Gruppe
aller topologischer Abbildungen einer vorgelegten, höchstens abzähl-
baren Gruppe isomorph ist. Wir werden solche Beispiele im § 2 für
jede derartige Gruppe konstruieren, und zwar werden die konstruierten
Räume in jedem Punkte eindimensional, zusammenhängend [es lassen
sich sogar irgend zwei Punkte durch ein Kontinuum (= kompakte, zu-
sammenhängende Menge) verbinden] und Teilmengen des dreidimen-
sionalen Euklidischen Raumes homoiomorph sein.
9 Da dies für jede Teilmenge M von G und jedes Paar «, b aus G gezeigt
wird, so ist sofort einsichtig, daß die Abbildungen «-»oft in jedem Punkte
von (r umkehrbar stetig sind.
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a(p) Hp von so gilt das gleiche, da die Elemente von (p)
notwendig Hp von Mi (p) sein müssen [da sie nicht zu Mi (p) gehören,
können sie nicht unendlich oft gleich einem Element von Mi (p) sein].
Fall 2: a(p) = 7?(p) für unendlich viele Ire Hi. Nun ist aber ent-
weder 7i (p) Hp von A^(p) oder für unendlich viele m e Mi gilt h (p) = m (p).
Also gilt dasselbe auch für a (p).
In jedem Fall erfüllt also a(p) die Fundamentalbedingung rück-
sichtlich Mi(^~), d. h. aber a ist Hp von M, d. h. (Hp 5) ist wahr.
6. Sei IieG Hp von M<LG und sei a, b in Gr beliebig. Wir
haben zu zeigen, daß ahb Hp von aMb ist.1)
Sei a Mb = aM1 b V ... V a Mn b eine Zerlegung. Dann ist auch
M = MX V ... V Mn. Da h Hp von M ist, so gibt es ein so daß
für alle p e 9t entweder h (p) Hp von Aft-(p) ist, oder &(p) = m(p) für
unendlich viele msAZ,-.,
Mit p durchläuft a (p) alle Elemente von Df. Da weiter
a7zö(p) = ö(7z(a(p))) und a Mi b ^p) = b {Mi (a (p))) ist, so genügt es,
nachzuweisen, daß für alle pGJi entweder 7? (/? (p)) Hp von &(UfAp)) ist,
oder ö(7i(p)) — &(m(p)) für unendlich viele ms Mi gilt. Dies ist aber
der Fall, da dies für 7z, Mi gilt und b eine topologische Abbildung
von 9t ist.
Damit ist also gezeigt, daß G durch die so definierte Hp-Relation
zum topologischen Gruppenraum gemacht ist.
A n h a n g.
Topologische Räume mit vorgegebener, höchstens abzählbarer Gruppe.
Wir stellen uns in diesem Anhang die Aufgabe, nicht triviale Bei-
spiele von topologischen Räumen anzugeben, bei denen die Gruppe
aller topologischer Abbildungen einer vorgelegten, höchstens abzähl-
baren Gruppe isomorph ist. Wir werden solche Beispiele im § 2 für
jede derartige Gruppe konstruieren, und zwar werden die konstruierten
Räume in jedem Punkte eindimensional, zusammenhängend [es lassen
sich sogar irgend zwei Punkte durch ein Kontinuum (= kompakte, zu-
sammenhängende Menge) verbinden] und Teilmengen des dreidimen-
sionalen Euklidischen Raumes homoiomorph sein.
9 Da dies für jede Teilmenge M von G und jedes Paar «, b aus G gezeigt
wird, so ist sofort einsichtig, daß die Abbildungen «-»oft in jedem Punkte
von (r umkehrbar stetig sind.