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https://doi.org/10.11588/diglit.43588#0021
Beziehungen zwischen den Grundbegriffen der Topologie.
21
Zunächst ist klar, daß durch Fortlassen eines beliebigen Punktes,
der nicht gerade der Punkt 0 des Stammes [kurz der „Nullpunkt“] ist,
%n in wenigstens zwei Teile zerfällt.
Weiter ist jeder Punkt des %n mit dem Nullpunkt durch einen
eindeutig bestimmten, unverkürzbaren Streckenzug verbunden. Dasselbe
gilt also auch für irgend zwei beliebige Punkte des %n.
Schließlich können numerierte Punkte des — der Punkt -q des
Stammes heiße der Punkt 4 + i des Zweiges S. . . . heiße
Mi • • ■ 'bich
b — bei topologischen Abbildungen des M in sich nur
Vi-Wi + i 1 ö
wieder in numerierte, unnumerierte in unnumerierte übergehen. Da
aber die [abzählbar vielen] numerierten Punkte im %n überall dicht
liegen, so ist die Starrheit des bewiesen, wenn wir nur zeigen,
daß jeder numerierte Punkt bei topologischen Abbildungen in sich über-
gehen muß.
Offenbar kann der Nullpunkt nur in sich übergehen. Sei bereits
für alle [benannten] Punkte von höchstens (#—1) -ter Stufe gezeigt, daß
sie invariant bleiben müssen. Wir wollen dasselbe von den Punkten
A-ter Stufe zeigen. Hierbei werde, um einen bequemen Induktions-
anfang zu erhalten, der Nullpunkt als Punkt (—1) -ter Stufe gezählt.
Sei q = b. . ... ein beliebiger Punkt Ä-ter Stufe. Er wird
*1^1 • • • Vä*ä+1
über den Punkt r = p. ; dem Nullpunkt verbunden [speziell
kann r der Nullpunkt sein], r ist der erste Punkt (&— ]) -ter Stufe
auf dem Wege von q zum Nullpunkt. Da r als Punkt (&—1) -ter Stufe
invariant bleibt, so kann der Zweig , auf dem q liegt, nur
in einen Zweig S. . . übergehen. Wäre jetzt etwa <r, so
Mi • • • lk r
gingen von einem Punkte des ersten Zweiges, nämlich dem Punkte
7 -7 1’ Senau (M---Zweige ab, während
doch von jedem Punkte des zweiten Zweiges wenigstens
Zweige abgehen. Also kann nicht yÄ<r sein. Entsprechend erweist
sichyfc>r unmöglich. Also muß j-h = r sein und also unser Zweig
■ ■ ■ in sich übergehen. Geht jetzt q in den Punkt b. .
s J M MM--MM
unseres Zweiges über, so gehen von dem Bild von q genau (qjj •. • i-kjicrf1
Tw&igQ ab. Diese Zahl muß aber gleich dc+i)1 sein, woraus
wieder r = ik + x folgt, d. h. q muß in sich übergehen.
Damit ist die Starrheit von gezeigt.
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Zunächst ist klar, daß durch Fortlassen eines beliebigen Punktes,
der nicht gerade der Punkt 0 des Stammes [kurz der „Nullpunkt“] ist,
%n in wenigstens zwei Teile zerfällt.
Weiter ist jeder Punkt des %n mit dem Nullpunkt durch einen
eindeutig bestimmten, unverkürzbaren Streckenzug verbunden. Dasselbe
gilt also auch für irgend zwei beliebige Punkte des %n.
Schließlich können numerierte Punkte des — der Punkt -q des
Stammes heiße der Punkt 4 + i des Zweiges S. . . . heiße
Mi • • ■ 'bich
b — bei topologischen Abbildungen des M in sich nur
Vi-Wi + i 1 ö
wieder in numerierte, unnumerierte in unnumerierte übergehen. Da
aber die [abzählbar vielen] numerierten Punkte im %n überall dicht
liegen, so ist die Starrheit des bewiesen, wenn wir nur zeigen,
daß jeder numerierte Punkt bei topologischen Abbildungen in sich über-
gehen muß.
Offenbar kann der Nullpunkt nur in sich übergehen. Sei bereits
für alle [benannten] Punkte von höchstens (#—1) -ter Stufe gezeigt, daß
sie invariant bleiben müssen. Wir wollen dasselbe von den Punkten
A-ter Stufe zeigen. Hierbei werde, um einen bequemen Induktions-
anfang zu erhalten, der Nullpunkt als Punkt (—1) -ter Stufe gezählt.
Sei q = b. . ... ein beliebiger Punkt Ä-ter Stufe. Er wird
*1^1 • • • Vä*ä+1
über den Punkt r = p. ; dem Nullpunkt verbunden [speziell
kann r der Nullpunkt sein], r ist der erste Punkt (&— ]) -ter Stufe
auf dem Wege von q zum Nullpunkt. Da r als Punkt (&—1) -ter Stufe
invariant bleibt, so kann der Zweig , auf dem q liegt, nur
in einen Zweig S. . . übergehen. Wäre jetzt etwa <r, so
Mi • • • lk r
gingen von einem Punkte des ersten Zweiges, nämlich dem Punkte
7 -7 1’ Senau (M---Zweige ab, während
doch von jedem Punkte des zweiten Zweiges wenigstens
Zweige abgehen. Also kann nicht yÄ<r sein. Entsprechend erweist
sichyfc>r unmöglich. Also muß j-h = r sein und also unser Zweig
■ ■ ■ in sich übergehen. Geht jetzt q in den Punkt b. .
s J M MM--MM
unseres Zweiges über, so gehen von dem Bild von q genau (qjj •. • i-kjicrf1
Tw&igQ ab. Diese Zahl muß aber gleich dc+i)1 sein, woraus
wieder r = ik + x folgt, d. h. q muß in sich übergehen.
Damit ist die Starrheit von gezeigt.