Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neuer Beweis des Transversalensatzes in der absoluten
Geometrie
Vorbemerkung: Der hier mitgeteilte Beweis des Satzes, daß
im Dreieck die Transversalen von den Ecken nach den Mitten der
Gegenseiten einander in einem Punkt schneiden, ist einfacher als
der des Unterzeichneten'), benützt aber ebenfalls räumliche Hilfs-
konstruktionen.
Ein Beweis mit den Hilfsmitteln der absoluten Geometrischen Ebene
allein ist noch nicht gelungen, und so gilt noch das kürzlich geprägte
Wort* 2): Er gehört zu den Sätzen, „die zwar in einer Disziplin (absolute
Geometrie der Ebene) als geltend anerkannt sind, aber noch nicht in
ihr bewiesen“.
Liebmann.
Hilfssatz: Das Lot von der Mitte einer Seite auf die Mittel-
senkrechte einer zweiten Seite geht durch die Mitte der dritten Seite.
Dieser Satz läßt sich folgendermaßen beweisen:
Sei von der Mitte D der Seite AC das Lot auf die Mittelsenk-
rechte m der Seite AB gezogen; es muß nach dem Axiom von Pasch
die Seite BC treffen, der Schnittpunkt heiße E. Die Fußpunkte der
Lote von A resp. B auf die Gerade DE seien F und Gr.
Es muß AF= BGr sein. Man mache nun BH— AD, dann ist
A AFD = A BGH, folglich < ADF = < BEE und, da < ADF -
< CDE, auch <£ CDE=<$ BHE.
Daher A CDE=A BHE, weil
AD = CD = BH,
< CED = <J BEH,
< CDE= < BHE.

x) H. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie (3. Aufl.) Berlin und Leipzig
1923, S. 22.
2) R. Baldus, Uber Eulers Dreieckssatz in der absoluten Geometrie. (Diese
Berichte 1929, 11. Abhandlung, S. 11.)