Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Existenz der Lösungen gewöhnl. Differentialgleichungen.

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wenn man sich auf den Fall beschränkt, daß die fv nur auf einer
nirgends dichten Menge unstetig sind.
Daß in allgemeineren Fällen die Definition von Nagumo doch wohl
übermäßig weit ist, sieht man aus einfachen Beispielen, wie etwa dem
folgenden: Es sei
(3) = ZO, 2/)

gegeben, wobei

x irrational

wenn

x 0 oder =

wenn

f (pp y)

-1,

wenn

0,

P
22 + l

[^(4 0) und g ganz; Zähler und Nenner relativ prim]. Hier ist durch-
weg f(oc, y} = + 1; f(x,y') — — 1. Lösungen von (3) im Sinne Nagumo s
sind demnach alle stetigen Funktionen y(x) (mit vorgeschriebenen
Anfangswerten), deren Derivierte zwischen + 1 und — 1 enthalten sind;
also auch solche y (x\ deren Derivierte überhaupt nicht das geringste
mit den Werten von f (x, y) zu tun haben.
Man kann aber dieses und ähnliche Beispiele noch befriedigend
erledigen, wenn man in (2) die „obere bzw. untere Limesfunktion
von fv(yx,y1,...,yn) bei Vernachlässigung der Nullmengen
[d. h. der Mengen vom (n-f-1)-dimensionalen Maß 0]“ verwendet;
wir wollen dieselben mit bzw. fp bezeichnen.9)
Ein System von stetigen Funktionen yv (rc) (v= 1, .. ., «) soll also
Lösung von (1) heißen, wenn für ihre vier Hauptderivierten durchweg
(im betrachteten Bereich) die Ungleichungen
(4) /** (x,yx(x),...,yn(x)^:D±yv (x)>f% {x,y1(x),.. .,yn(x))
gelten.
Das bedeutet gegenüber (2) für die yv (x) eine Einschränkung, weil
(-J) fv y n)^^fv (Xbyv ''nP^-fv ^N^yxi' y n)^zfv yi> ‘ '’^y n)‘

9) Diese Begriffsbildungen gehen bekanntlich im wesentlichen auf R. Baike,
Pariser These (1899) = Ann. di mat. (3) 3 (1899), S. 72/4, 81/2; Acta math. 30
(1906), S. 21/22 zurück; vgl. insbesondere auch H. Hahn, Theorie der reellen
Funktionen I, Berlin 1921, S. 173/6.
Bei endlichen Derivierten sowie bei den Derivierten totalstetiger Funktionen
werden die Liniesfunktionen durch Vernachlässigung der Nullmengen nicht ge-
ändert; vgl. H. Lebesoue, LeQons sur l’integration, Paris 1904, S. 80; 2. ed. Paris
1928, S. 87, und C. Caratheodory 3), S. 539 Fußnote.