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https://doi.org/10.11588/diglit.43593#0007
Über die Existenz der Lösungen gewÖhnl. Differentialgleichungen.
7
Dieser Hilfsatz gilt auch noch, wenn man (7) und (8) durch die
Ungleichungen
(9) D + 2 (x, y^\x), y%\xY) x . „ .
(10) I) ± yv {x) > Pv \x, yA (x), ...,yn (#))
ersetzt, wobei die Funktionen iF,, (x, y19..., yw) in B nach unten
halbstetig sind.
Beweis des Hilfsatzes:
xr sei ein Wert von <7, also Px mit den Koordinaten xr, yv (x^)
ein Punkt von B. Weil die <BV (x,yx, ..., yn) in Px nach oben halb-
stetig sind, bestehen für jeden Punkt P von B mit den Koordinaten
x, yv, für den
(11) | a — a?i | | jf,, — yv (^x) | < li
ist, die Ungleichungen
(12) 0p (x, yx^ ..., yn) (x^, y^ (Xj),..., yn (#*)) d- £ (r 1,..., w),
wobei £>0 beliebig klein und 7&]>0 hinreichend klein ist. Dies gilt,
wenn <PV in P1 einen endlichen Wert hat; ist jedoch dieser Wert
= + co bzw. — co, so ersetze man die rechte Seite von (12) durch
+ co bzw. — N, wobei N eiue beliebig große positive Zahl ist. Wir
wählen nun x2 in J so, daß
(13) I x2-xx I gA, I yv(x^-yv(xj | (p=l,...,w).
Für genügend große t /> tQ wird ferner wegen der gleichmäßigen Kon-
vergenz
(14)
also
(15) | yt\x^ - yv (^i) | < h.
Deshalb gilt für t > 70
(16) I) Vy\\x2) < <PV (x2,y^\x2\...,y^\x2))£^v (xvyBXj),.. .^j^x^+e,
(wobei die rechte Seite wieder gegebenenfalls durch -f- co oder — N zu
ersetzen ist) und infolgedessen auch [wegen Hilfsatz 1 von Nagumo12 * * *)]
/I ~>\ y^v\x^ — yf\x,) . ,, .
l17) ------ < (xv y1 (^), ...,yn (^)) + £.
*^2 1
12) Der übrigens im wesentlichen bereits auf U. Dini zurückgeht [Fonda-
menti per la teorica delle funzioni di variabili reali, Pisa 1878, S. 192/4 = Grund¬
lagen für eine Theorie der Functionen einer veränderlichen reellen Größe, dtsch.
bearb. von J. Lüroth u. A. Schepp, Leipzig 1892, S. 262/5].
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Dieser Hilfsatz gilt auch noch, wenn man (7) und (8) durch die
Ungleichungen
(9) D + 2 (x, y^\x), y%\xY) x . „ .
(10) I) ± yv {x) > Pv \x, yA (x), ...,yn (#))
ersetzt, wobei die Funktionen iF,, (x, y19..., yw) in B nach unten
halbstetig sind.
Beweis des Hilfsatzes:
xr sei ein Wert von <7, also Px mit den Koordinaten xr, yv (x^)
ein Punkt von B. Weil die <BV (x,yx, ..., yn) in Px nach oben halb-
stetig sind, bestehen für jeden Punkt P von B mit den Koordinaten
x, yv, für den
(11) | a — a?i | | jf,, — yv (^x) | < li
ist, die Ungleichungen
(12) 0p (x, yx^ ..., yn) (x^, y^ (Xj),..., yn (#*)) d- £ (r 1,..., w),
wobei £>0 beliebig klein und 7&]>0 hinreichend klein ist. Dies gilt,
wenn <PV in P1 einen endlichen Wert hat; ist jedoch dieser Wert
= + co bzw. — co, so ersetze man die rechte Seite von (12) durch
+ co bzw. — N, wobei N eiue beliebig große positive Zahl ist. Wir
wählen nun x2 in J so, daß
(13) I x2-xx I gA, I yv(x^-yv(xj | (p=l,...,w).
Für genügend große t /> tQ wird ferner wegen der gleichmäßigen Kon-
vergenz
(14)
also
(15) | yt\x^ - yv (^i) | < h.
Deshalb gilt für t > 70
(16) I) Vy\\x2) < <PV (x2,y^\x2\...,y^\x2))£^v (xvyBXj),.. .^j^x^+e,
(wobei die rechte Seite wieder gegebenenfalls durch -f- co oder — N zu
ersetzen ist) und infolgedessen auch [wegen Hilfsatz 1 von Nagumo12 * * *)]
/I ~>\ y^v\x^ — yf\x,) . ,, .
l17) ------ < (xv y1 (^), ...,yn (^)) + £.
*^2 1
12) Der übrigens im wesentlichen bereits auf U. Dini zurückgeht [Fonda-
menti per la teorica delle funzioni di variabili reali, Pisa 1878, S. 192/4 = Grund¬
lagen für eine Theorie der Functionen einer veränderlichen reellen Größe, dtsch.
bearb. von J. Lüroth u. A. Schepp, Leipzig 1892, S. 262/5].